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现代控制理论第二章核心内容：状态空间表达式的解

本文系统梳理了考研《现代控制理论》第二章核心知识点，包含状态转移矩阵性质、齐次/非齐次方程求解、典型输入响应分析等重要内容，适用于控制科学与工程、自动化等专业考生备考。

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一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）

1️⃣ 基本方程与解形式

$$\dot{x}=Ax(\text{齐次微分方程})$$

• 初始条件 $x(t_0)=x_0$ 时的唯一解：
  $$x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_0,t⩾t_0$$
• 特殊情形（$t_0=0$）：
  $$x(t)=e^{At}{x}_0,t⩾0$$

2️⃣ 核心概念

• 状态转移矩阵 $\Phi (t)$：
  $$\Phi (t)=e^{At}(\text{表示 }x(0)\to x(t)\text{ 的转移})$$
  $$\Phi (t-t_0)=e^{A(t-t_0)}(\text{表示 }x(t_0)\to x(t)\text{ 的转移})$$
• 解的物理意义：系统在零输入时由初始状态引起的自由运动

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二、状态转移矩阵的性质与计算

1️⃣ 四大基本性质

1. 组合性：
   $$\Phi (t)\Phi (\tau )=\Phi (t+\tau )$$
2. 单位性：
   $$\Phi (t-t)=I$$
3. 可逆性：
   $$[\Phi (t){]}^{-1}=\Phi (-t)$$
4. 微分特性：
   $$\dot{\Phi }(t)=A\Phi (t)=\Phi (t)A$$

2️⃣ 特殊矩阵的指数函数

矩阵类型	$e^{At}$ 表达式	说明
对角矩阵	$\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & \\ & \ddots & \\ & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right)$	$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$
可对角化矩阵	$T\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & \\ & \ddots & \\ & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right)T^{-1}$	$T^{-1}AT=\Lambda$
约旦块	$\left(\begin{array}{ccc}{e}^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \frac{t^2}{2!}{e}^{\lambda t}\\ & e^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}\\ & & e^{\lambda t}\end{array}\right)$	$J=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)$
共轭复根	$\left(\begin{array}{cc}\cos \omega t& \sin \omega t\\ -\sin \omega t& \cos \omega t\end{array}\right)e^{\sigma t}$	$\lambda =\sigma \pm j\omega$

3️⃣ 三大计算方法

1. 级数展开法：
   $$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{A}^n{t}^n+\cdots$$
2. 相似变换法：
   • 特征值互异：$e^{At}=T{e}^{\Lambda t}{T}^{-1}$
   • 有重特征值：$e^{At}=T{e}^{Jt}{T}^{-1}$
3. 拉氏变换法：
   $$e^{At}={\mathcal{L}}^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$$

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三、非齐次状态方程的解

1️⃣ 基本方程与通解

$$\dot{x}=Ax+Bu(\text{非齐次微分方程})$$

• 初始条件 $t_0=0,x(0)=x_0$：
  $$x(t)=\underset{\text{零输入响应}}{\underbrace{e^{At}{x}_0}}+\underset{\text{零状态响应}}{\underbrace{{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }}$$
• 一般初始条件 $x(t_0)=x_0$：
  $$x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_0+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$$

2️⃣ 典型输入响应分析

输入类型	响应表达式	备注
脉冲响应 $u(t)=K\delta (t)$	$x(t)=e^{At}{x}_0+e^{At}BK$	$K$为输入向量
阶跃响应 $u(t)=K\cdot 1(t)$	$x(t)=e^{At}{x}_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK$	需$A$可逆
斜坡响应 $u(t)=Kt\cdot 1(t)$	$x(t)=e^{At}{x}_0+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]BK$	需$A$可逆

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四、离散时间系统状态方程的解

1️⃣ 离散状态空间表达式

$$\{\begin{array}{l}x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}$$

2️⃣ 连续系统离散化

• 精确离散化：
  $$G(T)=e^{AT},H(T)={\int }_0^T{e}^{A\tau }d\tau B$$
• 近似离散化（$T$很小时）：
  $$G(T)\approx TA+I,H(T)\approx TB$$

3️⃣ 离散方程解

• 递推解：
  $$x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)$$
• 转移矩阵：
  $$\Phi (k)=G^k$$

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重点公式总结表

问题类型	核心公式	适用条件
齐次方程	$x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_0$	零输入
非齐次方程	$x(t)=\Phi (t-t_0)x_0+{\int }_{t_0}^t\Phi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau$	有控制输入
脉冲响应	$x(t)=e^{At}{x}_0+e^{At}BK$	$\delta (t)$输入
离散系统	$x(k)=G^{k}x(0)+{\sum }_{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)$	采样系统

✏️ 复习建议：

1. 重点掌握状态转移矩阵的4大性质和3种计算方法
2. 熟练推导非齐次方程解的结构
3. 对比记忆连续系统与离散系统解的对应关系
4. 通过典型例题练习约旦标准型下的矩阵指数计算

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版权声明：本文部分内容整理自《现代控制理论》（刘豹著）及考研复习笔记。公式推导部分参考经典教材，转载请注明出处。