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寻找重复数 - LeetCode 287 题解笔记

问题描述

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），已知至少存在一个重复的整数。假设 nums 只有一个重复的整数，返回这个重复的数。

要求：

• 不修改数组 nums
• 只使用常量级 O(1) 的额外空间

解题思路

方法一：快慢指针法（Floyd判圈算法）

核心思想

将数组视为链表，利用快慢指针检测环的存在并找到环的入口：

1. 数组映射为链表：

   • 索引作为节点
   • 数组值作为指向下一个节点的指针

2. 重复数字必然形成环：

   • 因为多个索引指向同一个值
   • 例如 nums = [1,3,4,2,2] → 0→1→3→2→4→2→4→…（在2和4之间形成环）

算法步骤

1. 第一阶段：检测环

   • 快指针每次走两步，慢指针每次走一步
   • 当两者相遇时，确认存在环

2. 第二阶段：找到环入口

   • 将慢指针重置到起点
   • 快慢指针改为每次各走一步
   • 再次相遇点即为重复数字

class Solution {public int findDuplicate(int[] nums) {// 初始都从第一个元素开始int slow = nums[0];int fast = nums[0];// 第一阶段：找到相遇点do {slow = nums[slow];fast = nums[nums[fast]];} while (slow != fast);// 第二阶段：找到环的入口slow = nums[0];while (slow != fast) {slow = nums[slow];fast = nums[fast];  // 这里应该是单步移动，不是双步}return slow;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

方法二：二分查找法

核心思想

利用抽屉原理进行二分查找：

1. 数值范围二分：

   • 在[1,n]范围内二分
   • 统计小于等于mid的数的个数

2. 调整搜索范围：

   • 如果计数 > mid，说明重复数在左半区
   • 否则在右半区

class Solution {
public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int l = 1, r = n - 1, ans = -1;while (l <= r) {int mid = (l + r) >> 1;int cnt = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {cnt += nums[i] <= mid;}if (cnt <= mid) {l = mid + 1;} else {r = mid - 1;ans = mid;}}return ans;}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)
• 空间复杂度：O(1)

关键点说明

1. 为什么快慢指针能工作：

   • 重复数字导致多个节点指向同一个节点
   • 形成环后，快指针最终会追上慢指针

2. 边界条件处理：

   • 数组长度至少为2（因n≥1）
   • 保证只有一个重复数字

3. 与常规链表环检测的区别：

   • 不需要实际构建链表
   • 直接利用数组索引和值的映射关系