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wzjs 2025/7/28 1:45:06

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一、算法概述

斐波那契查找是一种在有序数组中进行查找的算法，它与二分查找类似，但使用斐波那契数列来确定分割点。算法的核心思想是将查找区间按照黄金分割比例（约0.618）进行划分，而不是像二分查找那样均分为二。这种分割方式在某些场景下可以获得更好的性能。

斐波那契数列基础知识

斐波那契数列定义为：F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)

前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

二、时间复杂度

斐波那契查找的时间复杂度为 O(log n)，与二分查找相同。空间复杂度为 O(1)，只需存储几个变量。

三、查找思路与公式

1. 基本思路

找到不小于数组长度n的最小斐波那契数F(k)
将数组长度扩展到F(k)-1（必要时填充）
使用F(k-1)-1作为分割点，将数组分为两部分：
- 前半部分长度为F(k-1)-1
- 后半部分长度为F(k-2)

2. 分割公式

在斐波那契查找中，分割点的计算公式为：

mid = low + F(k-1) - 1

F(k-1) 是斐波那契数列中的一项，k是使得F(k)-1不小于数组长度的最小值。
在斐波那契查找中，F(k-1)对应黄金分割点左边的长度
这个公式反映了黄金分割比例（约为1:0.618）。当数组按照这个比例分割时，大约61.8%的数据会在左边，38.2%的数据会在右边，这就是利用斐波那契数列进行查找的数学基础。

3. 调整斐波那契序列

当目标在右半部分时：k = k-2，因为右半部分长度约为F(k-2)
当目标在左半部分时：k = k-1，因为左半部分长度约为F(k-1)-1

四、代码示例

public class FibonacciSearch {public static int fibonacciSearch(int[] arr, int key) {int n = arr.length;if (n == 0) return -1;// 构造斐波那契数列int fibMMinus2 = 0;   // F(k-2)int fibMMinus1 = 1;   // F(k-1)int fibM = fibMMinus1 + fibMMinus2;  // F(k)// 找到不小于n的最小斐波那契数while (fibM < n) {fibMMinus2 = fibMMinus1;fibMMinus1 = fibM;fibM = fibMMinus1 + fibMMinus2;}// 定义数组的偏移量int offset = -1;// 循环查找while (fibM > 1) {// 计算比较点的索引int i = Math.min(offset + fibMMinus2, n - 1);// 比较并决定向左还是向右if (arr[i] < key) {// 目标在右半部分，调整斐波那契数列fibM = fibMMinus1;fibMMinus1 = fibMMinus2;fibMMinus2 = fibM - fibMMinus1;offset = i;  // 更新偏移量} else if (arr[i] > key) {// 目标在左半部分，调整斐波那契数列fibM = fibMMinus2;fibMMinus1 = fibMMinus1 - fibMMinus2;fibMMinus2 = fibM - fibMMinus1;} else {// 找到目标return i;}}// 检查最后一个元素if (fibMMinus1 == 1 && offset + 1 < n && arr[offset + 1] == key) {return offset + 1;}// 未找到目标return -1;}public static void main(String[] args) {int[] arr = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50};int key = 25;int result = fibonacciSearch(arr, key);if (result != -1) {System.out.println("元素 " + key + " 在数组中的索引位置: " + result);} else {System.out.println("元素 " + key + " 不在数组中");}}
}

五、示例

假设有一个有序数组 [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50]，查找元素25：

数组长度为10，找到不小于10的斐波那契数F(7)=13
F(6)=8, F(5)=5
第一次比较：mid = 0 + F(6) - 1 = 0 + 8 - 1 = 7，arr[7] = 40 > 25
- 目标在左半部分，调整斐波那契数：F(7)→F(5), F(6)→F(5), F(5)→F(4)
第二次比较：mid = 0 + F(4) - 1 = 0 + 3 - 1 = 2，arr[2] = 15 < 25
- 目标在右半部分，调整斐波那契数：F(5)→F(4), F(5)→F(3), F(4)→F(2)
- 更新offset = 2
第三次比较：mid = 2 + F(2) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2，arr[2] = 15 < 25
- 目标在右半部分，调整斐波那契数：F(4)→F(3), F(3)→F(2), F(2)→F(1)
- 更新offset = 2
第四次比较：mid = 2 + F(1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2，arr[2] = 15 < 25
- 目标在右半部分，调整斐波那契数：F(3)→F(2), F(2)→F(1), F(1)→F(0)
- 更新offset = 2
检查offset+1 = 3，arr[3] = 20 < 25
检查offset+2 = 4，arr[4] = 25 = 25，找到目标！