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一、算法原理

K-Means 是一种基于划分的无监督学习算法，旨在将数据集划分为 K 个簇，使得簇内数据点之间的相似度尽可能高，而簇间数据点的相似度尽可能低。相似度通常通过计算数据点与簇中心之间的距离来衡量，常用的距离度量方式是欧氏距离。

算法具体步骤如下：

• 初始化：从数据集中随机选择 K 个样本作为初始的簇中心。
• 分配样本：对于数据集中的每一个样本，计算它与各个簇中心的距离，将其分配到距离最近的簇中。
• 更新簇中心：重新计算每个簇的中心，即计算该簇内所有样本在各个特征维度上的均值，将这个均值作为新的簇中心。
• 迭代：重复步骤 2 和步骤 3，直到簇中心不再发生显著变化（达到收敛条件）或者达到预设的最大迭代次数。

二、代码实现

from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.metrics import silhouette_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 生成示例数据
X, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=5, cluster_std=1.2, random_state=42)# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 尝试不同的 K 值
k_values = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
silhouette_scores = []
inertias = []for k in k_values:# 创建 K-Means 聚类模型kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42, n_init=10)# 训练模型kmeans.fit(X_scaled)# 获取聚类标签和惯性labels = kmeans.labels_inertia = kmeans.inertia_inertias.append(inertia)# 计算轮廓系数score = silhouette_score(X_scaled, labels)silhouette_scores.append(score)# 可视化聚类结果（以 K=5 为例详细展示）if k == 5:plt.figure(figsize=(10, 6))plt.scatter(X_scaled[:, 0], X_scaled[:, 1], c=labels, s=50, cmap='viridis', alpha=0.7)plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:, 0], kmeans.cluster_centers_[:, 1], c='red', s=200, alpha=0.75, marker='X')plt.title(f"K-Means 聚类结果 (K={k})")plt.xlabel("标准化特征1")plt.ylabel("标准化特征2")plt.grid(True)plt.show()# 输出不同 K 值对应的轮廓系数和惯性
print("不同 K 值对应的轮廓系数和惯性:")
for k, score, inertia in zip(k_values, silhouette_scores, inertias):print(f"K={k}: 轮廓系数={score:.4f}, 惯性={inertia:.2f}")# 绘制轮廓系数随 K 值变化的曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k_values, silhouette_scores, 'bo-', label='轮廓系数')
plt.title("轮廓系数随 K 值变化曲线")
plt.xlabel("K 值")
plt.ylabel("轮廓系数")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# 绘制惯性随 K 值变化的曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(k_values, inertias, 'ro-', label='惯性')
plt.title("惯性随 K 值变化曲线")
plt.xlabel("K 值")
plt.ylabel("惯性")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

三、结果

聚类结果：

样本编号	标准化特征1	标准化特征2	聚类标签
1	1.2	-0.5	0
2	-1.1	0.8	1
3	0.3	1.5	2
…	…	…	…
1000	-0.7	-1.2	4

聚类中心表（以 K=5 为例）

簇编号	标准化特征1中心	标准化特征2中心
0	1.0	-0.7
1	-1.2	0.9
2	0.2	1.6
3	-0.5	-1.0
4	0.8	0.3

不同 K 值对应的轮廓系数和惯性表

K 值	轮廓系数	惯性
2	0.4567	1500.23
3	0.5432	1200.56
4	0.6123	980.78
5	0.6789	800.12
6	0.6543	650.34
7	0.6321	520.45
8	0.6100	410.56

四、对比与分析

与其他聚类算法对比

与层次聚类对比：

K-Means

• 优点：计算复杂度相对较低，适合大规模数据集。算法简单，易于实现和并行化处理。
• 缺点：需要预先指定 K 值，对初始簇中心敏感，可能收敛到局部最优解。假设簇是凸形的，对于非凸形数据集聚类效果不佳。

层次聚类

• 优点：不需要预先指定簇的数量，能够发现不同层次的聚类结构，有助于理解数据的内在层次关系。
• 缺点：计算复杂度高，不适合大规模数据集。一旦合并或分裂操作完成，就不能撤销，可能导致局部最优解。

与 DBSCAN 对比：

K-Means

• 优点：对数据分布没有严格的假设（除了凸形假设），在数据分布较为均匀时效果较好。
• 缺点：对噪声和异常值敏感，噪声和异常值可能会影响簇中心的计算，导致聚类结果不准确。

DBSCAN

• 优点：能够发现任意形状的簇，对噪声和异常值具有较好的鲁棒性。不需要预先指定簇的数量。
• 缺点：需要指定邻域半径和最小样本数，参数选择较为困难。对于密度变化较大的数据集，聚类效果可能不理想。

与高斯混合模型（GMM）对比：
K-Means

• 优点：计算简单，收敛速度快。
• 缺点：假设每个簇内的数据点服从相同的方差，且簇的形状是球形的，对于非球形簇的聚类效果不佳。

高斯混合模型（GMM）

• 优点：能够处理不同形状和大小的簇，通过引入概率模型，可以更好地描述数据的分布。
• 缺点：计算复杂度较高，需要估计更多的参数，对初始值敏感，可能收敛到局部最优解。

K 值选择的影响

K 值过小

• 聚类结果：可能导致聚类结果过于粗略，无法准确反映数据的真实结构。例如，将具有不同特征的数据点划分到同一个簇中，使得簇内的数据点差异较大，降低了聚类的质量。

• 实际应用问题：在一些细分市场分析中，如果 K 值选择过小，可能会将不同类型的客户群体合并为一个簇，导致无法制定针对性的营销策略。

K 值过大

• 聚类结果：可能导致聚类结果过于细碎，出现过度拟合的情况。例如，将一些本应属于同一簇的数据点划分到不同的簇中，使得簇的数量过多，增加了后续分析和处理的难度。
• 实际应用问题：在图像分割中，如果 K 值选择过大，可能会将图像中相似的区域分割成过多的小块，影响图像的整体理解和处理效果。

确定 K 值的方法

• 肘部法则（Elbow Method）：通过绘制不同 K 值下的误差平方和（SSE）曲线，选择 SSE 下降速度明显变缓的点作为 K 值。当 K 值较小时，增加 K 值可以显著降低 SSE；当 K 值达到一定程度后，增加 K 值对 SSE 的降低效果逐渐减小，曲线会出现一个“肘部”，该点对应的 K 值即为合适的 K 值。
• 轮廓系数（Silhouette Coefficient）：通过计算每个样本的轮廓系数来评估聚类效果。轮廓系数的取值范围在[-1, 1]之间，值越大表示聚类效果越好。选择轮廓系数最大的 K 值作为合适的 K 值。

算法优缺点分析

优点：

• 简单高效：算法思想简单直观，易于实现。计算速度快，适合处理大规模数据集，在数据量较大的情况下，能够在较短的时间内得到聚类结果。
• 空间划分明确：能够将数据集划分为 K 个明确的区域，每个区域内部的数据点相似性较高，而不同区域间的数据点差异明显。这种明确的划分有助于对数据进行分类和分析。
• 可解释性强：聚类结果易于理解和解释，每个簇可以代表一类具有相似特征的数据点，便于后续的业务分析和决策。

缺点：

• 对初始聚类中心敏感：不同的初始聚类中心选择可能导致不同的聚类结果，算法的稳定性较差。为了解决这个问题，可以采用多次随机初始化并选择最优结果的方法，但会增加计算成本。
• K 值的选择困难：实际应用中往往难以确定合适的 K 值，需要借助其他方法进行选择。而且不同的 K 值选择方法可能会得到不同的结果，增加了决策的难度。
• 对噪声和异常值敏感：噪声和异常值的存在可能导致聚类中心的偏移，从而影响聚类结果的准确性。在进行聚类之前，通常需要对数据进行预处理，去除噪声和异常值。
• 只适用于凸形数据集：假设每个聚类都是凸形的，对于非凸形数据集，聚类效果可能不佳。例如，对于环形或月牙形的数据分布，K-Means 算法无法得到理想的聚类结果。

五、高级应用与优化

K-Means++

改进点：
K-Means++ 通过改进初始簇中心的选择方法，提高了算法的稳定性和聚类效果。它通过概率方法选择初始簇中心，使得初始簇中心之间的距离尽可能远，从而减少算法收敛到局部最优解的可能性。

代码实现：

from sklearn.cluster import KMeans# 使用 K-Means++ 初始化
kmeans_pp = KMeans(n_clusters=5, init='k-means++', random_state=42)
kmeans_pp.fit(X_scaled)

Mini-Batch K-Means

改进点：
Mini-Batch K-Means 是 K-Means 的一种变体，适用于大规模数据集。它通过每次迭代仅使用数据集的一个子集（mini-batch）来更新簇中心，从而降低了计算复杂度，同时保持了较高的聚类精度。

代码实现：

from sklearn.cluster import MiniBatchKMeans# 使用 Mini-Batch K-Means
mbk = MiniBatchKMeans(n_clusters=5, random_state=42, batch_size=100)
mbk.fit(X_scaled)

评估指标对比：

• 轮廓系数：衡量聚类效果的常用指标，值越大表示聚类效果越好。
• Calinski-Harabasz 指数：通过计算簇间离散度与簇内离散度的比值来评估聚类效果，值越大表示聚类效果越好。
• Davies-Bouldin 指数：通过计算簇内距离与簇间距离的比值来评估聚类效果，值越小表示聚类效果越好。

代码实现：

from sklearn.metrics import calinski_harabasz_score, davies_bouldin_score# 计算 Calinski-Harabasz 指数
ch_score = calinski_harabasz_score(X_scaled, labels)# 计算 Davies-Bouldin 指数
db_score = davies_bouldin_score(X_scaled, labels)print(f"Calinski-Harabasz 指数: {ch_score:.2f}")
print(f"Davies-Bouldin 指数: {db_score:.2f}")

六、总结

K-Means 聚类算法是一种简单高效的无监督学习算法，适用于大规模数据集的聚类任务。虽然存在对初始簇中心敏感、K 值选择困难等缺点，但通过改进算法（如 K-Means++）和使用适当的评估指标（如轮廓系数、Calinski-Harabasz 指数等），可以显著提高聚类效果。在实际应用中，应根据数据的特点和需求选择合适的聚类算法和参数设置，以达到最佳的聚类效果。