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数据标准化（Standardization）

数据标准化（有时称为Z-score标准化或零均值标准化）是将数据转换成均值为0，标准差为1的分布。标准化的目的是消除数据中的量纲单位差异，使得每个特征对模型的贡献相对平衡。标准化常用于距离度量敏感的算法，例如K近邻（K-NN）、支持向量机（SVM）、线性回归等。
$$x_{标准化}=\frac{x-\mu }{\sigma }$$
公式详解
$x$: 原始数据中的某个值。
$\mu$: 数据所在特征的 均值​（所有样本的算术平均值）。
$\sigma$: 数据所在特征的 ​标准差​（反映数据的离散程度）。

​计算步骤
Step 1：计算特征的均值 $\mu =\frac{1}{n}\Sigma {}_{i=1}^n{x}_i$
​Step 2：计算标准差 $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}$
​Step 3：对每个数据点应用公式 $x_{标准化}=\frac{x-\mu }{\sigma }$

标准化（Z-Score）计算步骤详解

原始数据表：

学生编号	数学成绩（X₁）	语文成绩（X₂）
1	50	40
2	60	55
3	70	75
4	80	85
5	90	95

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第一步：计算数学成绩（X₁）的标准化

1. 计算均值（μ₁）

$${\mu }_1=\frac{50+60+70+80+90}{5}=\frac{350}{5}=70$$

2. 计算标准差（σ₁）

$${\sigma }_1=\sqrt{\frac{(50-70{)}^2+(60-70{)}^2+(70-70{)}^2+(80-70{)}^2+(90-70{)}^2}{5}}$$
$$=\sqrt{\frac{400+100+0+100+400}{5}}=\sqrt{\frac{1000}{5}}=\sqrt{200}\approx 14.14$$

3. 标准化计算（逐值）

公式：
$$x_{\text{标准化}}=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

学生编号	计算过程	标准化结果
1	(50 - 70) / 14.14	-1.41
2	(60 - 70) / 14.14	-0.71
3	(70 - 70) / 14.14	0.00
4	(80 - 70) / 14.14	0.71
5	(90 - 70) / 14.14	1.41

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第二步：计算语文成绩（X₂）的标准化

1. 计算均值（μ₂）

$${\mu }_2=\frac{40+55+75+85+95}{5}=\frac{350}{5}=70$$

2. 计算标准差（σ₂）

$${\sigma }_2=\sqrt{\frac{(40-70{)}^2+(55-70{)}^2+(75-70{)}^2+(85-70{)}^2+(95-70{)}^2}{5}}$$
$$=\sqrt{\frac{900+225+25+225+625}{5}}=\sqrt{\frac{2000}{5}}=\sqrt{400}=20$$

3. 标准化计算结果

学生编号	计算过程	标准化结果
1	(40 - 70) / 20	-1.50
2	(55 - 70) / 20	-0.75
3	(75 - 70) / 20	0.25
4	(85 - 70) / 20	0.75
5	(95 - 70) / 20	1.25

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验证标准化效果

验证数学成绩（X₁标准化）的均值和标准差

1. 计算均值

$${\mu }_{X1标准化}=\frac{-1.41+(-0.71)+0+0.71+1.41}{5}=\frac{0}{5}=0$$

2. 计算标准差

$${\sigma }_{X1标准化}=\sqrt{\frac{(-1.41{)}^2+(-0.71{)}^2+0^2+0.71^2+1.41^2}{5}}$$
$$=\sqrt{\frac{1.988+0.504+0+0.504+1.988}{5}}=\sqrt{\frac{5}{5}}=1$$

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验证语文成绩（X₂标准化）的均值和标准差

1. 计算均值

$${\mu }_{X2标准化}=\frac{-1.5+(-0.75)+0.25+0.75+1.25}{5}=\frac{0}{5}=0$$

2. 计算标准差

$${\sigma }_{X2标准化}=\sqrt{\frac{(-1.5{)}^2+(-0.75{)}^2+0.25^2+0.75^2+1.25^2}{5}}$$
$$=\sqrt{\frac{2.25+0.5625+0.0625+0.5625+1.5625}{5}}=\sqrt{\frac{5}{5}}=1$$

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应用场景

• 距离度量算法：如K近邻（K-NN）、支持向量机（SVM）、K均值聚类等，这些算法依赖于数据点之间的距离。如果数据的量纲不统一或尺度不一致，模型可能会受到影响。
• 梯度下降算法：例如在线性回归、逻辑回归、神经网络等中，标准化有助于加速梯度下降过程，避免某些特征因量纲不同而导致收敛速度慢。

优点

• 对于大多数机器学习算法，标准化能提高模型的表现，特别是对于距离敏感的算法。
• 可以消除不同特征间的尺度差异，使得所有特征具有相同的权重。

缺点

• 标准化后，数据不再保留原来的数据分布（如正态分布等），因此对于某些需要数据分布特征的算法可能不适用。
• 对异常值（outliers）敏感，异常值会影响均值和标准差的计算，从而影响标准化的效果

数据归一化（Normalization）

数据归一化（又叫最小-最大归一化）是将数据按比例缩放到指定的区间内，通常是[0, 1]区间。归一化的目的是让数据的值落在一个统一的范围内，避免特征值过大或过小对模型造成影响，尤其是那些依赖于数据范围的算法，如神经网络。

归一化公式（Min-Max Normalization）

1. 基础公式（缩放至[a,b]区间）

$$x_{\text{norm}}=a+\frac{(x-x_{\min })\times (b-a)}{x_{\max }-x_{\min }}$$

2. 常用公式（缩放至[0,1]区间）

$$x_{\text{norm}}=\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}$$

应用场景

• 神经网络：尤其是深度学习中的神经网络，在训练过程中经常使用归一化处理，因为神经网络的激活函数（如sigmoid、tanh）对输入数据的范围非常敏感。
• 梯度下降优化算法：对于某些需要快速收敛的优化问题，归一化有助于加速训练过程。
• 需要控制数据范围的算法：例如一些基于边界计算的算法（如支持向量机中的核函数）对输入数据的范围比较敏感，因此也需要进行归一化。

优点

• 归一化后的数据保持在固定的范围内，避免了特征值差异较大对算法的影响。
• 对于某些算法（如神经网络），归一化可以加速学习过程，提高模型的收敛速度。

缺点

• 归一化无法处理数据中的异常值，因为极端值（如离群点）可能会影响最大值和最小值，导致归一化后数据的分布不均匀。
• 对于数据分布呈正态分布或具有较大方差的情况，归一化可能不合适。