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微积分与概率论由此进：基础数学：微积分和概率与统计-CSDN博客
线代与优化理论由此进：基础数学：线性代数与优化理论-CSDN博客
数值分析与离散数学由此进：基础数学：数值分析与离散数学-CSDN博客
四、图论与搜索算法
1.图结构基础
(1) 图的表示方法
- 邻接矩阵：
定义：对于图 ，邻接矩阵
，其中
适用：稠密图的存储，快速判断节点间是否联通
- 邻接表：
定义：为每个节点存储其邻居列表，例如
适用：稀疏图的高效存储，节省空间
- 权重图的扩展：
定义：邻接矩阵元素 表示边权，邻接表存储
对
(2) 树与图遍历
- 树的性质：
无环联通图，任意两节点间有唯一路径
节点数
- 深度优先搜索（DFS）：
算法步骤：
1.从起点出发，访问未被访问的邻居节点
2.递归访问邻居的邻居，直到无法继续
3.回溯到最近未探索完的节点继续
复杂度：时间复杂度 ，空间复杂度
（递归栈）
应用：树形思维（ToT）中的深度探索
- 广度优先搜索（BFS）：
算法步骤：
1.使用队列管理待访问节点
2.访问当前节点的所有邻居，再访问邻居的邻居
复杂度：时间复杂度 ，空间复杂度
（队列）
应用：寻找最短路径（无权图）
2.最短路径算法
(1)Dijkstra算法
- 核心思想：贪心策略，逐步扩展当前最短路径
- 数学描述：
初始化距离 ，其他节点
优先队列按距离排序，每次取出距离最小的节点
对 的邻居
，松弛操作：
- 复杂度：使用优先队列（如斐波那契堆）：
- 限制：仅适用于非负权边
(2)A*算法
- 启发式搜索：
定义评估函数 ，其中
：从起点到节点
的实际代价
：启发函数，估计
到终点的代价
- 算法步骤：
1.优先队列按 排序
2.每次扩展 最小的节点
3.到达终点或队列为空时终止
- 应用：PRM路径规划中的全局搜索
3.搜索策略优化
(1) 剪枝策略
- Alpha-Beta算法：
用于博弈树搜索，剪除对最终决策无影响的分支
核心思想：若某分支的评估值已不可能优于当前最优解，则停止搜索
- 应用场景：树形思维（ToT）中减少无效路径的探索
(2)多路径生成与自洽性验证
- 蒙特卡洛树搜索（MCTS）：
四步骤：选择（Selection）、扩展（Expansion）、模拟（Simulation）、回溯（Backpropagation）
选择策略：
使用Upper Confidence Bound（UCB）平衡探索与利用：
其中 为节点价值，
为访问次数，
为探索系数
- 自洽性：
通过生成多条路径 ，投票选择最一致的答案
投票规则：多数投票，广义投票等...
4.应用
(1)PRM路径规划：从理论到实践：带你快速学习基于PRM的三种搜索方法-CSDN博客
流程：
- 采样阶段：在构型空间中随机采样节点（蒙特卡洛采样）
- 连接阶段：对邻近节点尝试连接，过滤碰撞边
- 查询阶段：使用A*或Dijkstra算法在路线图中搜索路径
(2)树形思维：从理论到实践：树形思维探索(ToT)-CSDN博客
树结构构建：
- 根节点为初始问题，子节点为推理步骤的中间假设
- 节点扩展策略：基于概率或启发式生成子节点
(3)并行采样与顺序修订：从理论到实践：并行采样+顺序修订的联合优化-CSDN博客
联合优化框架：
- 并行采样：生成多条候选路径
- 顺序修订：对每条路径局部优化（如梯度下降修正参数）
- 聚合结果：选择综合得分最高的路径
5.核心公式
Dijkstra松弛操作：
A*评估函数：
UCB选择策略：
五、信息论
1.熵与信息度量
(1)信息熵
- 定义：信息熵衡量随机变量
的不确定性，定义为：
单位：以2为底的对数单位为比特（bits），以自然对数 lnln 为单位为奈特（nats）
直观解释：熵越大，不确定性越高。例如，均匀分布的熵最大
- 示例：抛一枚公平硬币，P(正面) = P(反面) = 0.5，熵为：
若硬币不均匀（如P(正面) = 0.9），则熵降低为：
(2)交叉熵
- 定义：衡量用分布
近似真实分布
的额外成本：
- 应用：
分类任务的损失函数（如交叉熵损失）
语言模型训练中，最小化预测分布与真实分布的交叉熵
(3)KL散度
- 定义：衡量分布
性质： 非负性 ，非对称性
- 应用：
变分推断中，最小化 以近似后验分布
模型蒸馏中，让学生模型分布逼近教师模型
(4)互信息
- 定义：衡量两个随机变量
的相关性：
- 应用：
特征选择：选择与目标变量互信息高的特征
多路径生成：筛选与问题相关性高的推理路径
2.编码理论
(1)压缩编码基础
- 霍夫曼编码（Huffman Coding）：
原理：为高频符号分配短码，低频符号分配长码，构建最优前缀码
数学形式：最小化平均码长 ，其中
是符号
的码长
- 算术编码（Arithmetic Coding）：
原理：将整个输入序列映射到一个区间 [0,1)，用区间长度编码概率
优势：接近香农熵极限，尤其适合高阶统计依赖的数据
(2)BPE算法的数学原理：从理论到实践：字节对编码(BPE)算法-CSDN博客
3.应用
(1)注意力机制中的信息瓶颈：从理论到实践：Pytorch实现注意力机制到Triton优化-CSDN博客
(2)模型不确定性的量化：从理论到实践：absmax、zeropoint和LLM.int8()在gpt-2的应用-CSDN博客
(3)多路径生成的自洽性验证：从理论到实践：CoT的多路径生成与自洽性-CSDN博客
4.核心公式
信息熵：
交叉熵：
KL散度：
互信息：