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旅游网站在提高用户体验方面应做哪些工作百度推广电话销售好做吗

wzjs 2025/7/25 23:55:45

旅游网站在提高用户体验方面应做哪些工作,百度推广电话销售好做吗,施工企业名词解释,wordpress分类目录顺序问题描述给定一个数字字符串 num，统计其所有不同排列中满足以下条件的数目： 奇数位下标数字之和偶数位下标数字之和（下标从0开始）。答案需对 10971097 取模。示例输入：num "08143" 输出&#xff1a…

问题描述

给定一个数字字符串 num，统计其所有不同排列中满足以下条件的数目：
奇数位下标数字之和 = 偶数位下标数字之和（下标从0开始）。
答案需对 109+7109+7 取模。

示例
输入：num = "08143"
输出：12
解释：存在12种排列方式使得奇数位和与偶数位和相等。

初探问题：暴力法的局限

思路分析

最直观的想法是生成所有排列，逐一检查是否满足条件。然而，当字符串长度 nn 较大时，排列数为 O(n!)O(n!)，显然会超时。

代码示例（Java）

java

// 暴力回溯（仅示意，不可行）
public class BruteForceSolution {private int count = 0;public int countBalancedPermutations(String num) {backtrack(num.toCharArray(), 0);return count;}private void backtrack(char[] arr, int start) {if (start == arr.length) {if (isBalanced(arr)) count++;return;}for (int i = start; i < arr.length; i++) {swap(arr, start, i);backtrack(arr, start + 1);swap(arr, start, i);}}private boolean isBalanced(char[] arr) {int evenSum = 0, oddSum = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (i % 2 == 0) evenSum += arr[i] - '0';else oddSum += arr[i] - '0';}return evenSum == oddSum;}
}

缺点：时间复杂度 O(n!)O(n!)，无法处理 n>10n>10 的情况。

优化思路：组合数学 + 动态规划

关键观察

总和奇偶性：若所有数字之和为奇数，直接返回0。
分配问题：将数字分配到奇数位和偶数位，使得两部分和相等。

数学建模

设总共有 mm 个奇数位和 kk 个偶数位（m=⌈n/2⌉m=⌈n/2⌉, k=⌊n/2⌋k=⌊n/2⌋）。
对每个数字 dd，选择 jj 个放在奇数位，剩余 cnt[d]−jcnt[d]−j 个放在偶数位，需满足：

∑(jd×d)=总和2∑(jd×d)=2总和
∑jd=m∑jd=m

动态规划状态定义

定义 dfs(pos, currSum, oddRemain)：

pos：当前处理的数字（0~9）
currSum：奇数位当前总和
oddRemain：剩余可分配的奇数位数量

转移方程

对每个数字 dd，枚举分配到奇数位的数量 jj，满足：
j∈[max⁡(0,cnt[d]−剩余偶数位),min⁡(cnt[d],oddRemain)]j∈[max(0,cnt[d]−剩余偶数位),min(cnt[d],oddRemain)]
方案数为组合数乘积：
C(oddRemain,j)×C(剩余偶数位,cnt[d]−j)C(oddRemain,j)×C(剩余偶数位,cnt[d]−j)

高效实现：预计算与记忆化

预计算组合数

使用动态规划预计算组合数 C(n,k)mod MODC(n,k)modMOD，避免重复计算。

java

// 预处理组合数C(n,k)
comb = new long[maxOdd + 1][maxOdd + 1];
for (int i = 0; i <= maxOdd; i++) {comb[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++) {comb[i][j] = (comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]) % MOD;}
}

记忆化搜索

通过三维数组 memo[pos][currSum][oddRemain] 记录状态，减少重复计算。

java

private long dfs(int pos, int currSum, int oddRemain) {if (memo[pos][currSum][oddRemain] != -1) return memo[pos][currSum][oddRemain];// ... 递归逻辑 ...memo[pos][currSum][oddRemain] = res;return res;
}

剪枝优化

若当前总和超过目标值 target，提前返回。
若剩余奇数位数量不足，跳过非法状态。

完整代码实现

java

import java.util.Arrays;public class Solution {private static final long MOD = 1_000_000_007;private long[][][] memo;private int[] cnt;private int target;private long[][] comb;private int[] psum;public int countBalancedPermutations(String num) {// 统计数字频率并计算总和cnt = new int[10];int tot = 0, n = num.length();for (char c : num.toCharArray()) {int d = c - '0';cnt[d]++;tot += d;}if (tot % 2 != 0) return 0;target = tot / 2;int maxOdd = (n + 1) / 2;// 预处理组合数comb = new long[maxOdd + 1][maxOdd + 1];for (int i = 0; i <= maxOdd; i++) {comb[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++) {comb[i][j] = (comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]) % MOD;}}// 计算psum[i]: 从i到9的数字总数psum = new int[11];for (int i = 9; i >= 0; i--) {psum[i] = psum[i+1] + cnt[i];}// 初始化记忆化数组memo = new long[10][target+1][maxOdd+1];for (long[][] arr2 : memo) {for (long[] arr1 : arr2) {Arrays.fill(arr1, -1);}}return (int) dfs(0, 0, maxOdd);}private long dfs(int pos, int currSum, int oddRemain) {if (oddRemain < 0 || currSum > target) return 0;if (pos == 10) {return (currSum == target && oddRemain == 0) ? 1 : 0;}if (memo[pos][currSum][oddRemain] != -1) {return memo[pos][currSum][oddRemain];}long res = 0;int evenRemain = psum[pos] - oddRemain;int lower = Math.max(0, cnt[pos] - evenRemain);int upper = Math.min(cnt[pos], oddRemain);for (int j = lower; j <= upper; j++) {int k = cnt[pos] - j;if (k < 0 || k > evenRemain) continue;long ways = (comb[oddRemain][j] * comb[evenRemain][k]) % MOD;res = (res + ways * dfs(pos+1, currSum + pos*j, oddRemain - j)) % MOD;}memo[pos][currSum][oddRemain] = res;return res;}public static void main(String[] args) {Solution sol = new Solution();System.out.println(sol.countBalancedPermutations("08143")); // 输出12}
}