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问题描述

在平面上有9个点p1到p9，其x坐标依次减小。p1和p2的y坐标相同，p4的切向量已知。要求用直线连接p1和p2，其余点用样条曲线连接，最后生成离散点集。

解决方案

步骤分解

1. 直线段生成：连接p1和p2的直线段。
2. 坐标转换：将p2到p9的点转换到x’坐标系$x^{\prime }=-x$，使x’递增。
3. 导数计算：
   • p4点的导数根据给定切向量计算。
   • 其他点的导数通过中心差分或单侧差分计算。
4. 埃尔米特样条生成：对每对相邻点生成埃尔米特曲线段。
5. 坐标转换回原系：将样条曲线点转换回原坐标系。
6. 合并结果：将直线段和样条曲线段的点合并。

公式推导

埃尔米特插值公式

埃尔米特插值通过两个点及其导数生成三次多项式。对于点qi和qi+1，其参数方程为：

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }(t)& =x_i^{\prime }+t\cdot (x_{i+1}^{\prime }-x_i^{\prime })\\ y^{\prime }(t)& =h_{00}(t)\cdot y_i+h_{10}(t)\cdot m_i\cdot (x_{i+1}^{\prime }-x_i^{\prime })\\ & +h_{01}(t)\cdot y_{i+1}+h_{11}(t)\cdot m_{i+1}\cdot (x_{i+1}^{\prime }-x_i^{\prime })\end{array}$$

其中，基函数为：

$$\begin{array}{rl}{h}_{00}(t)& =2t^3-3t^2+1\\ h_{10}(t)& =t^3-2t^2+t\\ h_{01}(t)& =-2t^3+3t^2\\ h_{11}(t)& =t^3-t^2\end{array}$$

参数t在$[0,1]$范围内。

导数计算

对于p4点（在转换后的坐标系中为qk），其导数根据给定切向量计算：

$$m_k=-\frac{ty}{tx}$$

其他点的导数计算如下：

• 端点：使用单侧差分。
• 内部点：使用中心差分。

代码实现

#include <QVector>
#include <QPointF>
#include <cmath>QVector<QPointF> generateLinePoints(const QPointF& p1, const QPointF& p2) {QVector<QPointF> points;int steps = 100; // 可调整步数以改变离散密度for (int i = 0; i <= steps; ++i) {qreal t = static_cast<qreal>(i) / steps;qreal x = p1.x() + t * (p2.x() - p1.x());qreal y = p1.y() + t * (p2.y() - p1.y());points.append(QPointF(x, y));}return points;
}QVector<QPointF> generateCurve(const QVector<QPointF>& points, const QPointF& p4Tangent) {QVector<QPointF> result;// 1. 生成p1到p2的直线段if (points.size() < 2) return result;QPointF p1 = points[0];QPointF p2 = points[1];result = generateLinePoints(p1, p2);// 2. 处理p2到p9的样条曲线QVector<QPointF> qPoints;for (int i = 1; i < points.size(); ++i) {qreal x_prime = -points[i].x();qreal y = points[i].y();qPoints.append(QPointF(x_prime, y));}if (qPoints.size() < 2) return result;// 3. 计算导数QVector<qreal> m(qPoints.size(), 0.0);int k = 2; // p4在qPoints中的索引// 处理p4的导数qreal tx = p4Tangent.x();qreal ty = p4Tangent.y();if (tx == 0) {// 垂直切线的处理，这里简化为极大值m[k] = (ty > 0) ? 1e10 : -1e10;} else {qreal dy_dx = ty / tx;m[k] = -dy_dx; // 转换到x'坐标系}// 计算其他点的导数for (int i = 0; i < qPoints.size(); ++i) {if (i == k) continue;if (i == 0) {// 第一个点，前向差分qreal dx = qPoints[i+1].x() - qPoints[i].x();qreal dy = qPoints[i+1].y() - qPoints[i].y();m[i] = dy / dx;} else if (i == qPoints.size() - 1) {// 最后一个点，后向差分qreal dx = qPoints[i].x() - qPoints[i-1].x();qreal dy = qPoints[i].y() - qPoints[i-1].y();m[i] = dy / dx;} else {// 中心差分qreal dx_prev = qPoints[i].x() - qPoints[i-1].x();qreal dy_prev = qPoints[i].y() - qPoints[i-1].y();qreal dx_next = qPoints[i+1].x() - qPoints[i].x();qreal dy_next = qPoints[i+1].y() - qPoints[i].y();m[i] = (dy_prev/dx_prev + dy_next/dx_next) / 2;}}// 4. 生成样条曲线QVector<QPointF> splinePoints;for (int i = 0; i < qPoints.size() - 1; ++i) {QPointF q_start = qPoints[i];QPointF q_end = qPoints[i+1];qreal x_start = q_start.x();qreal y_start = q_start.y();qreal x_end = q_end.x();qreal y_end = q_end.y();qreal m_start = m[i];qreal m_end = m[i+1];int steps = 100; // 每段的采样步数for (int j = 0; j <= steps; ++j) {qreal t = static_cast<qreal>(j) / steps;qreal h00 = 2 * t*t*t - 3 * t*t + 1;qreal h10 = t*t*t - 2 * t*t + t;qreal h01 = -2 * t*t*t + 3 * t*t;qreal h11 = t*t*t - t*t;qreal x_prime = x_start + t * (x_end - x_start);qreal y_prime = h00 * y_start + h10 * m_start * (x_end - x_start) +h01 * y_end + h11 * m_end * (x_end - x_start);// 转换回原坐标系qreal x = -x_prime;qreal y = y_prime;splinePoints.append(QPointF(x, y));}}// 合并结果，去除重复的p2点if (!splinePoints.isEmpty()) {splinePoints.removeFirst();result += splinePoints;}return result;
}

总结

该方案通过将问题分解为直线段生成和样条曲线生成两部分，利用埃尔米特插值在满足p4点切向量条件的同时，生成平滑的曲线。通过坐标转换简化了样条曲线的构造过程，并通过合理的导数计算确保了曲线的连续性和光滑性。