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多项式环是一个在抽象代数中非常重要的概念，它扩展了我们对多项式运算的理解。

前提：常见的数集 N,Z,R,Q,C -CSDN博客

什么是“环” (Ring)？

在数学中，一个“环”是一个集合，在这个集合上定义了两种二元运算，通常称为“加法”和“乘法”，并且这些运算满足一些特定的性质，类似于整数的加法和乘法。 这些性质包括：

• 加法：满足结合律、交换律，有加法单位元（零元），每个元素有加法逆元。

• 乘法：满足结合律，有乘法单位元（幺元，如果是有单位元的环），但不一定满足交换律。

• 分配律：乘法对加法满足分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）。

最简单的例子就是整数集 Z，它在普通的加法和乘法下构成一个环。

什么是“多项式环” (Polynomial Ring)？

“多项式环”是环的一种特殊类型，它的元素是多项式。

如果 R 是一个环（例如，整数环 Z 或实数环 R），那么 R[x] 表示所有以 x 为变量，并且系数取自环 R 的多项式集合。在这个集合上，多项式的加法和乘法按照我们熟悉的规则定义。

例如，Z[x] 是所有系数为整数的多项式集合，如 。这些多项式在加法和乘法下构成一个多项式环。

例如，Z[x] 是所有系数为整数的多项式集合，如。这些多项式在加法和乘法下构成一个多项式环。

是什么意思？

总结：

是一个特殊的多项式环，它的特点是：

• 系数：所有多项式的系数都在模 q 的意义下进行运算。

• 多项式次数：所有多项式的次数都被限制在 n−1 及以下，因为任何 xn 都可以被替换为 −1。