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最长上升子序列(LIS)

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度。所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。

严格上升子序列的定义是：当且仅当该序列不存在两个下标 i 和 j 满足 i < j 且 arr[i] ≥ arr[j]。

动态规划解法

我们使用一个dp数组，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。

算法步骤：

1. 初始化dp数组，所有元素设为1（因为单个元素的子序列长度为1）
2. 对于每个位置i，遍历其前面的所有位置j：
   • 如果arr[j] < arr[i]，说明可以将arr[i]接在以arr[j]结尾的上升子序列后面
   • 此时dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
3. 最终结果是dp数组中的最大值

代码实现

/** * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可 * * 给定数组的最长严格上升子序列的长度。 * @param arr int整型一维数组 给定的数组 * @param arrLen int arr数组长度 * @return int整型 */ 
int LIS(int* arr, int arrLen) { if (arrLen == 0) return 0; int* dp = (int*)malloc(arrLen * sizeof(int)); // 初始化 dp 数组 for (int i = 0; i < arrLen; i++) { dp[i] = 1; } // 动态规划计算 for (int i = 1; i < arrLen; i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (arr[j] < arr[i]) { dp[i] = (dp[i] > dp[j] + 1) ? dp[i] : dp[j] + 1; } } } // 找到 dp 数组中的最大值 int result = 0; for (int i = 0; i < arrLen; i++) { result = (result > dp[i]) ? result : dp[i]; } // 释放 dp 数组 free(dp); return result;
}

时间复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，其中n是数组长度。两层嵌套循环。
• 空间复杂度：O(n)，需要一个长度为n的dp数组。

示例分析

输入：[6,3,1,5,2,3,7]

过程：

• dp[0] = 1 (只有元素6)
• dp[1] = 1 (只有元素3)
• dp[2] = 1 (只有元素1)
• dp[3] = 2 (序列[1,5])
• dp[4] = 2 (序列[1,2])
• dp[5] = 3 (序列[1,2,3])
• dp[6] = 4 (序列[1,2,3,7])

最终结果：4，对应的最长上升子序列为[1,2,3,7]

最长回文子串

问题描述

对于长度为n的一个字符串A（仅包含数字，大小写英文字母），计算其中最长回文子串的长度。

动态规划解法

我们使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示子串A[i…j]是否为回文串。

算法步骤：

1. 初始化：所有单个字符都是回文串，dp[i][i] = 1
2. 检查长度为2的子串：如果A[i] == A[i+1]，则dp[i][i+1] = 1
3. 检查长度大于2的子串：如果A[i] == A[j]且dp[i+1][j-1] = 1，则dp[i][j] = 1
4. 记录最长回文子串的长度

代码实现 (动态规划法)

#include <stdio.h> 
#include <string.h> int getLongestPalindrome(char* A) { int n = strlen(A); int dp[n][n]; memset(dp, 0, sizeof(dp)); int maxLen = 1; // 单个字符是回文 for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i][i] = 1; } // 检查长度为2的子串 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { if (A[i] == A[i + 1]) { dp[i][i + 1] = 1; maxLen = 2; } } // 检查长度大于2的子串 for (int len = 3; len <= n; len++) { for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) { int j = i + len - 1; if (A[i] == A[j] && dp[i + 1][j - 1]) { dp[i][j] = 1; maxLen = len; } } } return maxLen; 
}

中心扩展法

除了动态规划，还可以使用中心扩展法解决此问题：

1. 遍历字符串的每个字符，以其为中心向两边扩展
2. 需要考虑两种情况：以单个字符为中心和以两个字符之间为中心
3. 记录最长回文子串的长度

代码实现 (中心扩展法)

#include <stdio.h> 
#include <string.h> int expandAroundCenter(char* s, int left, int right) { while (left >= 0 && right < strlen(s) && s[left] == s[right]) { left--; right++; } return right - left - 1; // 返回回文子串的长度 
} int getLongestPalindrome(char* A) { int n = strlen(A); int maxLen = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { // 单字符中心 int len1 = expandAroundCenter(A, i, i); // 双字符中心 int len2 = expandAroundCenter(A, i, i + 1); maxLen = (len1 > maxLen) ? len1 : maxLen; maxLen = (len2 > maxLen) ? len2 : maxLen; } return maxLen; 
}

时间复杂度分析

• 动态规划法：

  • 时间复杂度：O(n²)
  • 空间复杂度：O(n²)

• 中心扩展法：

  • 时间复杂度：O(n²)
  • 空间复杂度：O(1)

示例分析

输入：“ababc”

过程（以中心扩展法为例）：

• 以’a’为中心，最长回文子串为"a"，长度为1
• 以’a’和’b’之间为中心，无回文
• 以’b’为中心，最长回文子串为"b"，长度为1
• 以’b’和’a’之间为中心，无回文
• 以’a’为中心，最长回文子串为"aba"，长度为3
• 以’a’和’b’之间为中心，无回文
• 以’b’为中心，最长回文子串为"bab"，长度为3
• 以’b’和’c’之间为中心，无回文
• 以’c’为中心，最长回文子串为"c"，长度为1

最终结果：3，对应的最长回文子串为"aba"或"bab"

总结

这两个问题都是动态规划的经典应用，体现了动态规划"将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算"的思想。

• 最长上升子序列：通过dp[i]存储以第i个元素结尾的最长上升子序列长度
• 最长回文子串：通过dp[i][j]存储子串A[i…j]是否为回文串

此外，最长回文子串还展示了如何通过中心扩展法优化空间复杂度，这是一个很好的例子，说明有时候灵活思考可以找到比标准动态规划更高效的解法。