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深度学习 第2章 线性代数
线性代数是深度学习的语言。 张量操作是神经网络计算的基石，矩阵乘法是前向传播的核心，范数约束模型复杂度，而生成空间理论揭示模型表达能力的本质。 本章介绍线性代数的基本内容，为进一步学习深度学习做准备。
主要内容
2.1 标量、向量、矩阵和张量
- 标量：单个数字，用斜体表示，通常赋予小写字母变量名。
- 向量：数字数组，按顺序排列，用粗体小写字母表示，元素通过下标访问。
- 矩阵：二维数字数组，用粗体大写字母表示，元素通过两个索引访问。
- 张量：多维数字数组，用特殊字体表示，元素通过多个索引访问。
2.2 矩阵和向量的乘法
- 矩阵乘法：两个矩阵相乘得到第三个矩阵，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
- 点积：两个向量的点积是它们对应元素乘积的和，结果是一个标量。
- 矩阵乘法的性质：矩阵乘法是可分配的和结合的，但不具有交换性。
2.3 单位矩阵和逆矩阵
- 单位矩阵：与任何向量相乘都不会改变该向量的矩阵，主对角线元素为1，其余为0。
- 逆矩阵：矩阵A的逆矩阵A⁻¹满足A⁻¹A = I，用于求解线性方程组。
2.4 线性相关性和生成空间
- 线性相关性：一组向量中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
- 生成空间：一组向量的所有线性组合构成的集合。
2.5 范数
- Lᵖ范数：衡量向量大小的函数，L¹范数（欧几里得范数）和L²范数常用。
- 矩阵范数：衡量矩阵大小的函数，如弗罗贝尼乌斯范数。
“范数衡量向量大小，L¹鼓励稀疏性，L²平滑但易微分。”
2.6 特殊类型的矩阵和向量
- 对角矩阵：只有主对角线有非零元素的矩阵。
- 对称矩阵：等于其转置的矩阵。
- 正交矩阵：行和列都是标准正交的矩阵。
2.7 特征分解
- 特征向量和特征值：矩阵A的特征向量v满足Av = λv，λ是对应的特征值。
- 特征分解：将矩阵分解为特征向量和特征值的组合。
总结
线性代数是深度学习的“语法”：
- 张量作为数据容器，支撑图像、语音等高维数据表示。
- 矩阵乘法是神经网络前向传播的核心运算（如全连接层）。
- 范数约束模型复杂度（如正则化项）
- 生成空间理论解释模型表达能力
- 线性相关性直接影响参数优化稳定性。
掌握这些概念，可深入理解神经网络的计算本质与设计逻辑。
延伸思考
深度学习视角：张量（高维数组）是神经网络中数据的通用表示形式（如图像=3D张量）。
实践意义：广播机制（broadcasting）允许不同维度张量运算，是框架（如PyTorch）高效实现的关键。掌握这些内容，就握住了理解深度学习模型的钥匙！
精彩语句
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英文：“A vector can be regarded as a point in space, with each element corresponding to a position on a different coordinate axis.”
中文：向量可视为空间中的点，每个元素对应不同坐标轴的位置。
解释：从几何视角连接代数与空间，奠定线性组合的直观基础。 -
英文：“Matrix multiplication is not an element-wise product, but a linear combination of rows and columns.”
中文：矩阵乘法是行与列的线性组合，而非逐元素乘积。
解释：揭示神经网络中权重与输入交互的本质（如全连接层计算）。 -
英文：“The inverse of an orthogonal matrix is its transpose, making computations highly efficient.”
中文：正交矩阵的逆即其转置，计算成本极低。
解释：正交性在梯度稳定性和参数初始化中的关键作用（如防止梯度爆炸）。 -
英文：“Norms measure the size of vectors: L¹ encourages sparsity, while L² is smooth and differentiable.”
中文：范数衡量向量大小：L¹ 鼓励稀疏性，L² 平滑且易微分。
解释：指导损失函数设计（如Lasso回归与岭回归的正则化选择）。