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wzjs 2025/9/15 6:23:09

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📖 摘要

前缀和（Prefix Sum）是算法竞赛和面试中的高频考点，能将区间和查询从O(n)优化到O(1)，还能结合哈希表高效统计满足条件的子数组。本文将深入浅出讲解前缀和的核心思想、应用场景，并通过LeetCode经典题目带你彻底掌握这一算法技巧！

📚 目录

什么是前缀和？
前缀和的应用场景
一维前缀和经典例题
二维前缀和与矩阵查询
前缀和+哈希表的组合技
实战技巧与总结

1. 什么是前缀和？

1.1 一维前缀和

前缀和数组 prefix 的每个元素表示原数组前 i 项的和：
$\dots + nums[i-1]$
区间和计算：
若求原数组区间 [L, R] 的和，只需：
$s u m = p re f i x [R + 1] - p re f i x [L]$
示例：
原数组 [2, 3, -1, 4] 的前缀和为 [0, 2, 5, 4, 8]，区间 [1,3] 的和为 8 - 2 = 6。

1.2 二维前缀和

二维前缀和 prefix[i][j] 表示从 (0,0) 到 (i-1,j-1) 的矩形区域和。
区域和计算：
查询区域 (r1,c1) 到 (r2,c2) 的和：
$s u m = p re f i x [r 2 + 1] [c 2 + 1] - p re f i x [r 1] [c 2 + 1] - p re f i x [r 2 + 1] [c 1] + p re f i x [r 1] [c 1]$

2. 前缀和的应用场景

高频查询区间和
统计满足条件的子数组数量（如和为K、可被K整除的子数组）
处理含负数的数组或需要取模的场景
优化动态规划问题中的重复计算

3. 一维前缀和经典例题

例题1：和为K的子数组

问题：统计数组中连续子数组和为k的数量。
关键思路：

用哈希表记录前缀和出现的次数
遍历时若发现 sum - k 在哈希表中，则累加次数

代码实现：

def subarraySum(nums, k):prefix = {0: 1}  # 初始化：前缀和为0出现1次（空数组）sum_, count = 0, 0for num in nums:sum_ += numcount += prefix.get(sum_ - k, 0)  # 累加符合条件的子数组数量prefix[sum_] = prefix.get(sum_, 0) + 1  # 更新哈希表return count

例题2：和可被 K 整除的子数组

关键点：

计算前缀和模 K 的余数，利用同余定理
处理负数余数：mod = (sum_ % K + K) % K

代码实现：

def subarraysDivByK(nums, K):prefix = {0: 1}sum_, ans = 0, 0for num in nums:sum_ += nummod = (sum_ % K + K) % K  # 修正负数余数ans += prefix.get(mod, 0)prefix[mod] = prefix.get(mod, 0) + 1return ans

4. 二维前缀和与矩阵查询

例题3：二维区域和检索

核心思想：

构建二维前缀和数组时，利用容斥原理：
$p re f i x [i] [j] = p re f i x [i - 1] [j] + p re f i x [i] [j - 1] - p re f i x [i - 1] [j - 1] + ma t r i x [i - 1] [j - 1]$

代码实现：

class NumMatrix:def __init__(self, matrix):m, n = len(matrix), len(matrix[0])self.prefix = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(m):for j in range(n):self.prefix[i+1][j+1] = self.prefix[i+1][j] + self.prefix[i][j+1] - self.prefix[i][j] + matrix[i][j]def sumRegion(self, r1, c1, r2, c2):return self.prefix[r2+1][c2+1] - self.prefix[r1][c2+1] - self.prefix[r2+1][c1] + self.prefix[r1][c1]

5. 前缀和+哈希表的组合技

例题4：连续数组

问题：找到含有相同数量0和1的最长子数组。
转化技巧：将0视为-1，问题转化为求和为0的最长子数组。

代码实现：

def findMaxLength(nums):prefix = {0: -1}  # 记录前缀和首次出现的下标sum_, max_len = 0, 0for i, num in enumerate(nums):sum_ += 1 if num == 1 else -1if sum_ in prefix:max_len = max(max_len, i - prefix[sum_])else:prefix[sum_] = ireturn max_len