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在LLC谐振变换器中，将直流输出负载电阻 ( R ) 等效为交流侧的电阻 ( $R_{ac}$ )（即 ( $R_L$ )）的推导，涉及 功率守恒原则 和 傅里叶级数分析。以下是详细推导过程：

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一、功率守恒原则

1. 直流侧功率：
   输出直流功率 ( $P_{out}$ ) 由负载电阻 ( R ) 和输出电压 ( $V_{out}$ ) 决定：
   [
   $P_{out}=\frac{V_{out}^2}{R}$
   ]

2. 交流侧功率：
   在谐振网络中，等效交流负载 ( $R_{ac}$ ) 消耗的功率需等于直流功率。假设交流电压为基波分量（正弦波），其有效值为 ( $V_{ac}$ )，则：
   [
   $P_{ac}=\frac{V_{ac}^2}{R_{ac}}=P_{out}$
   ]

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二、整流桥的电压电流关系

1. 全波整流后的电压波形：

   • 副边交流电压 ( $v_{ac}(t)$ ) 为幅值 ( $V_m$ ) 的正弦波，经全波整流后为脉动直流。
   • 整流输出的直流电压 ( $V_{out}$ ) 是 ( $v_{ac}(t)$ ) 的平均值：
     [
     $V_{out}=\frac{2V_m}{\pi }\text{（全波整流平均值）}$
     ]

2. 基波分量有效值 ( $V_{ac}$ )：

   • 对整流前的交流电压 ( $v_{ac}(t)=V_m\sin (\omega t)$ )，其基波有效值为：
     [
     $V_{ac}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$
     ]
   • 结合 ( $V_{out}=\frac{2V_m}{\pi }$ )，可得：
     [
     $V_{ac}=\frac{V_{out}\pi }{2\sqrt{2}}$
     ]

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三、等效电阻 ( $R_{ac}$ ) 的推导

1. 功率等式联立：
   将 ( $P_{out}=P_{ac}$ ) 代入：
   [
   $\frac{V_{out}^2}{R}=\frac{V_{ac}^2}{R_{ac}}$
   ]
2. 代入 ( $V_{ac}$ )：
   [
   $\frac{V_{out}^2}{R}=\frac{{\left(\frac{V_{out}\pi }{2\sqrt{2}}\right)}^2}{R_{ac}}=\frac{V_{out}^2{\pi }^2}{8R_{ac}}$
   ]
3. 化简得 ( $R_{ac}$ )：
   [
   $\frac{1}{R}=\frac{{\pi }^2}{8R_{ac}}⟹R_{ac}=\frac{8}{{\pi }^2}R$
   ]

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四、物理意义

1. 等效原理：

   • 直流负载 ( R ) 通过整流桥后，在交流侧表现为一个更小的电阻 ( $R_{ac}=\frac{8}{{\pi }^2}R\approx 0.81R$ )。
   • 这是因为整流过程仅利用交流电压的基波分量传输能量，且谐波被滤波电容吸收。

2. LLC设计中的应用：

   • 在计算谐振腔参数（如品质因数 ( $Q$ )）时，需使用 ( $R_{ac}$ ) 而非 ( R )，以确保阻抗匹配和软开关实现。

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五、验证与扩展

1. 傅里叶分析：

   • 整流桥的输入电流为脉冲波形，其基波分量有效值 ( $I_{ac}$ ) 与直流电流 ( $I_{out}$ ) 的关系为：
     [
     $I_{ac}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{I}_{out}$
     ]
   • 结合 ( $V_{ac}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{V}_{out}$ )，可再次验证 ( $R_{ac}=\frac{V_{ac}}{I_{ac}}=\frac{8}{{\pi }^2}R$ )。

2. 其他拓扑的等效电阻：

   • 对于半波整流：( $R_{ac}=\frac{4}{{\pi }^2}R$ )。
   • 对于带滤波电感的整流：等效电阻公式可能不同。

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六、总结

• 公式：
  [
  $R_{ac}=\frac{8}{{\pi }^2}R\approx 0.81R$
  ]
• 关键点：
  • 推导基于 基波功率守恒 和 全波整流的傅里叶分析。
  • 该等效电阻用于LLC谐振腔的交流阻抗匹配，直接影响增益和效率。

提示：实际设计中需考虑整流二极管压降、寄生参数等非理想因素，可能需微调等效值。