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本文附属于：数字水印 | 彩色图像论文：A blind and robust color image watermarking scheme based on DCT and DWT domains（三）

前言

最初，我看不懂论文 A 中提到的 量化值 和 水印嵌入规则，只觉得莫名其妙。后来看了 盲水印 相关的论文、博客和代码，我突然恍然大悟！

本博客涉及两篇论文：

• 论文 A：设计的是盲水印方案，即提取水印时不需要使用原始图像；
• 论文 B：设计的是非盲水印方案，即提取水印时需要使用原始图像；

接下来，我将以人话和 Python 代码来介绍论文 A 的水印嵌入规则。

1 回顾：论文 A 的嵌入规则

这一小节只是回顾一下论文 A 所提出的方案是什么，暂不进行说明😈

步骤五：基于给定的量化值 $Q$，通过以下公式构造一个包含 $LH1$ 子带调整系数的新矩阵 $S$：

$$S(i,j)=\lfloor \frac{LH1(i,j)}{Q}\rfloor$$

步骤六：将加密后的水印图像 $EW$ 按照以下规则嵌入到 $LH1$ 子带中，从而得到 $LH{1}^{\prime }$：

if mod(S(i, j), 2) = EW(k) thenLH1(i, j) = S(i, j) * Q + Q / 2
End ifif mod(S(i, j), 2) != EW(k) thenif LH1(i, j) - S(i, j) * Q ∈ [0, Q/2] thenLH1(i, j) = (S(i, j) - 1) * Q + Q / 2ElseLH1(i, j) = (S(i, j) + 1) * Q + Q / 2End if
End if

其中 $i=0,1,2,...,M/16,j=0,1,2,...,N/16,k=0,1,2,...,R\times C$。

2 论文 B 的嵌入规则

这一小节主要介绍非盲的水印嵌入是如何实现的，以及我们为什么需要盲的水印嵌入。

论文 B 所提出的水印嵌入规则如下：

$$S_{mark}=S_y+\alpha \times S_w$$

温馨提示：由于这只是一个论文的片段，因此没有必要深究各个变量所代表的含义。只需要知道 $S_y$ 是基于原始图像得到的一个值，$S_w$ 是基于水印得到的一个值，而 $S_{mark}$ 将被用于重构出含水印的图像即可。

根据上述水印嵌入规则，易得水印提取规则如下：

$$S_w^{\prime }=(S_{mark}-S_y)/\alpha$$

其中 $S_{mark}$ 根据含水印图像得到，$S_y$ 根据原始图像得到。

这样的水印嵌入和提取规则是毫无问题的，可是在实际应用中，我们可能并不希望水印的提取过程还需要原始图像的参与。一方面是，提取水印的人可能并不是原始图像的拥有者；另一方面是，不希望因提取水印而需要暴露原始图像。因此，盲水印嵌入技术应运而生。

3 论文 A 的提取规则

这一小节主要介绍论文 A 的提取规则，下一小节再介绍论文 A 的嵌入规则。

首先，我们需要明确的是，论文 A 所针对的水印是二进制的水印，即水印信息是由 $01$ 二进制数进行表示的。正是这一条件为我们嵌入水印提供了便利！

相较于论文 B，我们不再使用一个直白的数学运算（加减乘除）来嵌入或提取水印信息。而是采用一种类似于零知识证明的方式：在提取水印的过程中，我不需要告诉你原始图像的值是多少，而只需要告诉你 “加密” 后的原始图像的值对 $2$ 取余的值是多少，而得到的这些余数就是水印信息。

Q1：为什么是对 $2$ 取余？
A1：因为对 $2$ 取余的余数只能是 $0$ 和 $1$，所以可以完美地表示我们的二进制水印信息。如果水印信息采用的是三进制，那么就是对 $3$ 取余了。
Q2：什么是 “加密” 后的原始图像的值？
A2：本质上就是通过数学运算对原始图像的值进行了一些变换，我个人把这样的变换过程称为 “加密” 过程。

论文 A 提取水印的方式是：

$$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }(i,j)=& \lfloor \frac{LH{1}^{\prime }(i,j)}{Q}\rfloor \\ E{W}^{\prime }(k)=& \mathrm{mod}(S^{\prime }(i,j),2)\end{array}$$

说明：$LH1(i,j)$ 是根据原始图像得到的值。由于 $LH{1}^{\prime }(i,j)$ 是 $LH1(i,j)$ 经过一些变换得到的，因此我们可以认为 $LH{1}^{\prime }(i,j)$ 是 “加密” 后的原始图像的值。

再来看上述水印提取的过程，我们只需要通过一个和水印嵌入过程相同的变换 —— $LH{1}^{\prime }(i,j)$ 整除 $Q$，再对 $2$ 取余即可获得水印信息。可以看出，我们全程都没有使用到原始图像的值，因此这是一个盲水印方案。那么这到底是如何实现的呢？如何保证整除后取余一定等于水印信息呢？请看下一小节。

说明：上标的那一撇是为了表明这不是原始的信息，而是经过了调整或者是被提取出的信息。不过可以证明的是，嵌入和提取水印的规则保证了 $EW(k)=E{W}^{\prime }(k)$ 的成立。

4 论文 A 的嵌入规则

步骤五：基于给定的量化值 $Q$，通过以下公式构造一个包含 $LH1$ 子带调整系数的新矩阵 $S$：

$$S(i,j)=\lfloor \frac{LH1(i,j)}{Q}\rfloor$$

其实我到现在还是不知道量化值的作用，但是在 Python 中通过以下代码即可实现：

for i in range(length):S[i] = LH1[i] // Q

即 $S(i,j)$ 等于 $LH1(i,j)$ 整除 $Q$。由于这只是一个测试代码，因此我定义的都是一维数组。

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步骤六：将加密后的水印图像 $EW$ 按照以下规则嵌入到 $LH1$ 子带中，从而得到 $LH{1}^{\prime }$。

① 针对第一种情况

if mod(S(i, j), 2) = EW(k) thenLH1(i, j) = S(i, j) * Q + Q / 2
End if

如果 $S(i,j)$ 对 $2$ 取余本来就等于对应位置的水印信息 $EW(k)$，那么

$$LH{1}^{\prime }(i,j)=S(i,j)\times Q+\frac{Q}{2}$$

Q：为什么需要 $LH{1}^{\prime }(i,j)$ 且它的值和 $LH1(i,j)$ 差不多？
A：因为我们希望嵌入水印后的图像和原始图像长得差不多。

提取水印时有

$$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }(i,j)=& \lfloor \frac{LH{1}^{\prime }(i,j)}{Q}\rfloor =\lfloor \frac{S(i,j)\times Q+Q/2}{Q}\rfloor \\ =& \lfloor S(i,j)+\frac{1}{2}\rfloor =S(i,j)\end{array}$$

由于 $S(i,j)$ 是由整除得到的，因此 $S(i,j)$ 一定是一个整数。一个整数加上 $0.5$ 后再向下取整，一定等于自身。那岂不是显得 $0.5$ 很多余？还有必要加 $0.5$ 吗？

从而有

$$E{W}^{\prime }(k)=\mathrm{mod}(S^{\prime }(i,j),2)=\mathrm{mod}(S(i,j),2)=EW(k)$$

② 针对第二种情况

if mod(S(i, j), 2) != EW(k) thenif LH1(i, j) - S(i, j) * Q ∈ [0, Q/2] thenLH1(i, j) = (S(i, j) - 1) * Q + Q / 2ElseLH1(i, j) = (S(i, j) + 1) * Q + Q / 2End if
End if

如果 $S(i,j)$ 对 $2$ 取余不等于对应位置的水印信息 $EW(k)$，那么我们需要分情况讨论。

$$0\le LH1(i,j)-S(i,j)\times Q\le \frac{Q}{2}$$

那么

$$LH{1}^{\prime }(i,j)=(S(i,j)-1)\times Q+\frac{Q}{2}$$

提取水印时有

$$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }(i,j)=& \lfloor \frac{LH{1}^{\prime }(i,j)}{Q}\rfloor =\lfloor \frac{(S(i,j)-1)\times Q+Q/2}{Q}\rfloor \\ =& \lfloor S(i,j)-\frac{1}{2}\rfloor =S(i,j)-1\end{array}$$

由于 $S(i,j)$ 对 $2$ 取余不等于对应位置的水印信息 $EW(k)$，因此 $S(i,j)-1$ 对 $2$ 取余一定等于对应位置的水印信息 $EW(k)$。这就是二进制的好处！

5 代码实现

import numpy as npQ = 3.56  # 对应论文中的Q，即量化值
EW1 = [1, 0, 0, 1, 1, 0]  # 原始的EW
LH1 = [255, 204, 230, 198, 160, 98]  # 原始的LH
LH1 = np.array(LH1)length = len(EW1)
S = np.zeros(length)  # 对应论文中的S
LH2 = np.zeros(length)  # 调整后的LH
EW2 = np.zeros(length)  # 提取出的EW# 嵌入水印：获取LH2
def get_new_lh(lh1, s, ew):if s % 2 == ew:return s * Q + Q / 2else:if 0 <= lh1 - s * Q <= Q / 2:return (s - 1) * Q + Q / 2else:return (s + 1) * Q + Q / 2for i in range(length):S[i] = LH1[i] // Qfor i in range(length):LH2[i] = get_new_lh(LH1[i], S[i], EW1[i])print(LH2)# 提取水印：获取EW2
def get_ew(s):return s % 2for i in range(length):S[i] = LH2[i] // Qfor i in range(length):EW2[i] = get_ew(S[i])print("原始的水印信息：", EW1)
print("提取的水印信息：", EW2)

按理来说 $S$ 和 $LH$ 都应该是二维数组，但因为这只是一个简单的测试代码，因此我定义成了一维数组。