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机器学习笔记：正规方程（Normal Equation）

概述

正规方程是线性回归中求解参数的一种解析方法。它基于最小化损失函数（如最小二乘法）来直接计算出参数的最优值。在机器学习中，这种方法尤其适用于特征数量不多且数据集不是非常大的情况。

预备知识

• 线性回归：模型形式通常表示为 (y = Xw + b)，其中 (y) 是输出，(X) 是输入特征矩阵，(w) 是权重向量，(b) 是偏置项。
• 损失函数（最小二乘法）：(J(w) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h(x^{(i)}) - y^{(i)})2)，其中 (m) 是样本数量，(h(x^{(i)})) 是模型预测值。

正规方程推导

目标是找到使损失函数 (J(w)) 最小化的参数 (w)。通过设置 (J(w)) 对 (w) 的导数为0，可以得到正规方程：

[ w = (X^TX){-1}X^Ty ]

这里，(X) 是设计矩阵（包含特征和偏置项），(y) 是目标值向量。

步骤

1. 构建设计矩阵 (X)：如果特征数为 (n)，样本数为 (m)，则 (X) 的维度为 (m \times (n+1))（加一是因为偏置项）。
2. 计算 (X^TX)：这是一个 ((n+1) \times (n+1)) 的矩阵。
3. 计算 (X^Ty)：这是一个 ((n+1) \times 1) 的向量。
4. 求解 (w)：通过计算 ((X^TX){-1}X^Ty) 来得到权重向量 (w)。

特点

• 优点：
  • 直接计算，不需要迭代。
  • 当特征数量较少时，计算量较小。
• 缺点：
  • 当特征数量很多时，计算 (X^TX) 的逆矩阵非常耗时。
  • 对于大规模数据集，内存消耗大。
  • 对数据的规模和特征数量敏感。

应用场景

正规方程适用于特征数量不多、数据集规模适中的情况。在特征数量较多或者数据集较大时，通常推荐使用梯度下降等迭代方法。

实现示例（Python）

import numpy as np# 假设 X 是特征矩阵，y 是目标值向量
X = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]])
y = np.array([2, 3, 5, 7])# 添加偏置项
X_b = np.c_[np.ones((X.shape[0], 1)), X]# 计算参数 w
w_best = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y)print("参数 w:", w_best)

总结

正规方程是解决线性回归问题的一种有效方法，尤其适用于特征数量较少的情况。然而，在处理大规模数据集或特征数量众多的情况时，其计算和存储的开销可能变得不可接受，此时应考虑使用更高效的优化算法，如梯度下降。