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中心极限定理（CLT）习题集 · 答案与解析篇

与题目篇一一对应。若有其他解法欢迎在评论区补充。

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1. 概念与判断题

1.1 经典叙述

若 (X_1,X_2,\dots) i.i.d.，满足
(E[X_1]=\mu,;0<\sigma^2:=\operatorname{Var}(X_1)<\infty)。
则
[
Z_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}(X_k-\mu)}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1).
]

1.2 LLN vs CLT

项目	大数定理(LLN)	中心极限定理(CLT)
极限	(\overline{X}_n\to\mu)	(\sqrt{n}(\overline{X}_n-\mu)\to N(0,\sigma^2))
收敛	概率/几乎处处	分布
速度	无界定 (常用 (O_p(1/\sqrt{n})))	明确给出 (\sqrt{n}) 级别
应用	一致估计	置信区间、假设检验

1.3 方差无限

分布	Var 是否有限	CLT 可否用
Exp(1)	有限	可
Cauchy	无	不可
Pareto(1.5)	无限 (α≤2)	不可
Bernoulli	有限	可

1.4 填空

a) (\displaystyle \frac{1}{s_n^2}\sum_{k=1}{n}E!\bigl[(X_k-\mu_k)^2\mathbf 1_{{|X_k-\mu_k|>