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1. 基本原理

  二分查找（Binary Search）是一种基于分治思想的高效搜索算法，核心逻辑是通过不断缩小搜索区间来定位目标值。其前提是数据必须为有序数组，时间复杂度为 O(log n)。

2. 步骤

1. 初始化区间：左边界 left=0，右边界 right=数组长度-1。
2. 计算中间位置 mid = left + (right - left) >> 1（防止整数溢出）。
3. 比较 arr[mid] 与目标值：-若相等，返回 mid；-若目标值较小，调整右边界 right = mid - 1；-若目标值较大，调整左边界 left = mid + 1。
4. 重复步骤2-3，直到 left > right，返回未找到标志（如 -1）。

3.练习

题目1：

解题思路:
  由于题目中是升序且无重复数组，可以利用二分法。因为在数组中找不到target时需要给出插入的位置，所有采用左开右闭。

class Solution {public int searchInsert(int[] nums, int target) {int len = nums.length;int ans = len;int left = 0, right = len-1;while(left <= right) {int mid = ((right - left) >> 1) + left;if(nums[mid] < target) {left = mid+1;}else {ans = mid;right = mid-1;}}return ans;}
}

题目2：

解题思路：
  题中可能存在三种情况：

   1. target在数组范围的左边或者右边，即target比最小值小或比最大值大；
   2. target在数组中存在；
   3. target在数组范围内，但数组中无target。

class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int leftBorder = search(nums, target, true);int rightBorder = search(nums, target, false);//target在数组范围左边或右边，即左右边界无效if(leftBorder == nums.length) {return new int[]{-1, -1};}//target在数组中存在if(rightBorder >= leftBorder) {return new int[]{leftBorder, rightBorder};}//target在数组中不存在return new int[]{-1, -1};}public int search(int[] nums, int target, boolean isLeft) {int n = nums.length;int ans = n;//n=1时，左右边界为0，1int left = 0, right = n-1;while(left <= right) {int mid = ((right - left) >> 1) + left;if(nums[mid] > target || (isLeft && nums[mid] >= target)) {ans = mid;right = mid-1;}else {left = mid+1;}}return isLeft ? ans : ans-1;}
}

题目3：

解题思路：
  题目要求找平方根，可以当作在升序整数数列中找某个值，所有可以用左闭右开二分法。

class Solution {public int mySqrt(int x) {if(x == 0) return 0;int ans = 0;int left = 1, right = x;while(left <= right) {int mid = left + ((right - left) >> 1);// 避免溢出if(mid > x/mid) {right = mid-1;}else {ans = mid;left = mid+1;}}return ans;}
}

题目4：

解题思路：
  要求判断有效，即严格要求存在平方根，所有要判断找出的ans是否有效。

class Solution {public boolean isPerfectSquare(int num) {int left = 1, right = num, ans = 0;while(left <= right) {int mid = left + ((right - left) >> 1);if(mid > num/mid) {right = mid - 1;}else {ans = mid;left = mid + 1; }}return (double)num / ans / ans == 1;}
}

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