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一、基础坐标系定义

1.1 OBB参数表示

设OBB满足：

• 中心坐标：$\mathbf{C}\in {\mathbb{R}}^3$
• 局部坐标轴：正交单位向量 { u , v , w } \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} {u,v,w}
• 半边长向量：$\mathbf{e}=(e_u,e_v,e_w)$

1.2 射线参数方程

全局坐标系下的射线表示为：
$$\mathbf{R}(t)=\mathbf{O}+t\mathbf{D},t\in [0,+\infty )$$
其中$\mathbf{O}$为射线起点，$\mathbf{D}$为单位方向向量

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二、 坐标系变换理论

2.1 变换矩阵构造

定义旋转矩阵：
$$\mathbf{M}=[\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x& v_x& w_x\\ u_y& v_y& w_y\\ u_z& v_z& w_z\end{array}\right]$$
因$\mathbf{M}$是正交矩阵，其逆矩阵为：
$${\mathbf{M}}^{-1}={\mathbf{M}}^T$$

2.2 坐标变换公式

将射线转换到OBB局部坐标系：
$${\mathbf{O}}^{\prime }={\mathbf{M}}^T(\mathbf{O}-\mathbf{C})$$
$${\mathbf{D}}^{\prime }={\mathbf{M}}^T\mathbf{D}$$
此时OBB在局部坐标系中表现为AABB：
$$\mathcal{B}=[-e_u,e_u]\times [-e_v,e_v]\times [-e_w,e_w]$$

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三、 分离轴定理(SAT)的数学应用

3.1 候选分离轴集合

需要验证的分离轴包括：
A = { u , v , w } ∪ { D ′ × u ,   D ′ × v ,   D ′ × w } \mathcal{A} = \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \cup \{\mathbf{D}' \times \mathbf{u},\ \mathbf{D}' \times \mathbf{v},\ \mathbf{D}' \times \mathbf{w}\} A={u,v,w}∪{D′×u, D′×v, D′×w}
共9个轴（其中3个叉积轴可能线性相关，但SAT仍要求全部验证）

3.2 投影计算模型

对任意分离轴$\mathbf{a}$（需单位化）：

3.2.1 OBB投影半径

r O B B = ∑ i ∈ { u , v , w } e i ∣ a ⋅ i ∣ r_{OBB} = \sum_{i\in\{u,v,w\}} e_i|\mathbf{a} \cdot \mathbf{i}| rOBB​=i∈{u,v,w}∑​ei​∣a⋅i∣

3.2.2 射线投影参数

$$\{\begin{array}{l}{o}_p={\mathbf{O}}^{\prime }\cdot \mathbf{a}\\ d_p\end{array}$$