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📘 霍夫变换（Hough Transform）

参考1：OpenCV
参考2：bilibili，我觉得讲的蛮好

一、什么是霍夫变换？

霍夫变换是一种用于在图像中检测几何形状的经典算法。它最常用来检测直线，也可以扩展到检测圆、椭圆等其他形状。

它的核心思想是：

将图像空间中的点转换到参数空间中进行“投票”，找出最有可能存在的几何结构。

二、为什么用霍夫变换？

在图像中直接找直线并不容易，因为：

• 图像可能有噪声或断开的边缘
• 直线可能被遮挡或部分缺失

而霍夫变换通过统计所有边缘点对各种可能直线的“支持程度”，可以有效识别出图像中真实存在的直线。

三、直线检测的基本思路

1. 直线的数学表示

一条直线可以用多种方式表示：

• 斜截式：y = kx + b → 不适合垂直直线（k无穷大）
• 极坐标式：ρ = x cos(θ) + y sin(θ)

✅ 在霍夫变换中使用的是极坐标形式，其中：

• ρ 是原点到这条直线的垂直距离
• θ 是这条垂线与 x 轴之间的夹角

2. 参数空间（霍夫空间）

每条直线由两个参数决定：ρ 和 θ。我们可以建立一个二维空间来表示这些参数：

• 横轴：θ，范围通常是 0° 到 180°
• 纵轴：ρ，范围根据图像大小确定（如 -500 到 +500）

这个空间就叫做霍夫空间，或者参数空间。

四、霍夫变换的核心步骤

步骤 1：提取图像中的边缘点

首先使用边缘检测算法（如 Canny）得到图像中所有的边缘点。

• 这些点是我们要用来“投票”给潜在直线的关键点。

步骤 2：每个点都“投票”给所有可能经过它的直线

对于每一个边缘点 (x, y)：

• 遍历角度 θ 的所有可能值（比如从 0° 到 180°，每次增加 1°）
• 对于每一个 θ，计算对应的 ρ
• 得到一组 (ρ, θ)，代表一条可能经过该点的直线
• 在参数空间中，对这个位置“加 1 票”

每个点都会产生很多组 (ρ, θ)，也就是在参数空间中留下很多“投票”。

步骤 3：参数空间中出现最多“票数”的位置就是图像中最可能的直线

在参数空间中：

• 哪些 (ρ, θ) 出现的次数最多？

• 这些位置就代表图像中最有可能存在的直线！

• 就像选举一样，得票最多的候选人胜出。

五、如何理解“每个点都要遍历 0°~180°”？

这是很多人疑惑的地方。

其实很简单：

• 每个点都可以属于无数条直线。
• 我们不可能穷尽所有角度，所以设定一个步长（如 1°），在这个范围内逐一尝试。
• 每次尝试一个角度，算出对应的半径 ρ，就得到了一组可能的直线参数。
• 然后在这个参数组合上加一票。

所以，每个点都会为 180 个不同的角度分别生成一个 ρ，并在参数空间中对应的位置“投票”。

六、累加器数组的作用

为了记录所有“投票”，我们使用一个二维数组，称为累加器（Accumulator）。

• 行表示 ρ
• 列表示 θ
• 数组中的数值表示有多少个点“认为”这条直线存在

最终，找到累加器中数值最高的几个位置，就找到了图像中最可能的几条直线。

七、精度问题：连续 vs 离散

虽然 ρ 和 θ 在数学上是连续的，但我们在实现时必须将其离散化：

• 角度 θ 通常按 1° 分辨率取值
• 半径 ρ 也按 1 像素为单位进行划分

这就会带来一定的误差，但我们可以通过调整分辨率来控制这种误差的影响。

• 类似于把一个光滑曲线画在方格纸上，虽然不能完全精确，但只要格子够小，就能非常接近真实结果。

八、总结一句话

霍夫变换的本质是：让图像中的每个边缘点为所有可能经过它的直线“投票”，最后找出得票最多的那几条直线。