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第四章 搜索基础

1、dfs

⭐️深度优先搜索
深度优先搜索(DepthFirst Search,DFs），在图论中是一种用于遍历或搜索树或图的算法。所谓深度优先，就是说每次都尝试向更深的节点走。
在搜素算法中，DFS是指利用递归函数方便地实现暴力枚举的算法，与图论中的DFS算法有一定相似之处，但并不完全相同。

⭐️回溯法
回溯法（Backtracking）是深度优先搜索（dfs）的一种。它系统地搜索所有可能的解，常用于解决组合问题、排列问题、子集问题以及图的遍历等。其基本思想是通过递归的方式尝试构建解，并在发现当前路径无法形成有效解时，及时“回溯”到上一个步骤，尝试其他可能的路径。
回溯法的基本思路
选择：在每一步选择一个可能的选项（例如，选择一个数字、字符或状态）。
约束：在选择后，检查当前状态是否满足约束条件（例如，是否满足题目要求）。
目标：如果当前状态满足目标条件，记录结果（即找到一个解）。
回溯：如果当前状态无法继续前进，撤回上一步选择，尝试其他可能的选项。

📖

📚

int func(int i){if(i == 1 || i == 2) return 1;return func(i-1) + func(i-2);
}

在用dfs实现代码时，新手最好对于每一题都画出递归树，了解dfs的运行顺序。从而更好掌握dfs。
例如对于斐波拉契数列，我们有递归公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)，我们可以画出递归树。

标记出递归树各函数执行完毕的顺序。

注意 执行完毕 与 执行的顺序 区分开来。

📖dfs实现指数型枚举

选择：在每一步选择一个可能的选项（例如，选择一个数字、字符或状态）。
对于每一个数字，我有选和不选两种方式。对于一个数字判定完后，我们需要判定下一个数字是否选和不选。
约束：在选择后，检查当前状态是否满足约束条件（例如，是否满足题目要求）。
选择后，判断当前数字选择了几位。
目标：如果当前状态满足目标条件，记录结果（即找到一个解）。
当我进入到第n+1位，代表前n位已经选择好了，则输出结果。
回溯：如果当前状态无法继续前进，撤回上一步选择，尝试其他可能的选项。
即我们完成了选择，或者该层递归代码实现完成，我们进行回溯到上一步，并恢复进入该层递归时的状态。

📚

static void dfs(int u){if(u>n)[for(int i=1;i<=n;i++){if(st[i]) System.out.print(i+" ");}System.out.println();return;}dfs(u+1);st[u]=true;dfs(u+1);st[u]=false;
}

2、二进制搜索

什么是二进制搜索？

⭐️二进制搜索

首先一个二进制数中只包含0,1，在二进制枚举中0代表不选当前元素，1代表选当前元素。
例如对于一个长度为5的集合{1,2,3,4,5}，我们选择1,3,5这3个元素:

那么当前选择的状态就可以用二进制10101来表示，也就是十进制中的21。

什么是二进制搜索？
一种搜索所有可能组合的技巧，通常用于解决一些组合问题、子集问题或状态空间搜索问题。它利用二进制数对集合的子集进行标记，从而有效地生成所有可能的组合。比如：

• 数字0的二进制是000，表示所有物品都不选。
• 数字5的二进制是101，表示选第0和第2个物品，不选第1个。

这样可以枚举出所有可能的选择组合。

蛋糕的美味值

3、bfs

什么是BFS？
BFS（广度优先搜索，Breadth-First Search）是一种图或树的遍历算法。其一般用于求解边权相等的最短路以及最小操作数问题。该算法时间复杂度为O(点数+边数)

从一个节点开始，探索所有相邻的节点，然后以此向外扩展至更远的节点，逐层进行。

BFS算法我们用队列进行实现，一般情况下需要完成以下四步：

• 初始化队列：将起始节点放入队列中。
• 从队列中取出一个节点，访问该节点，并将其所有未访问的邻居节点加入队列。
• 确保每个节点只被访问一次，以避免死循环（特别是在处理有环的图时）。
• 重复上述步骤，直到队列为空。

总体的复杂度时O(n+m)，n是访问点的复杂度，m是访问边的复杂度。

BFS(graph, start):queue ＝空队列visited=空集合queue.add(start)visited[start]=true;#初始化#开始遍历while queue 不为空:#从队列中取出当前节点current = queue.poll()if(current=end){ #如果答案找到，直接退出函数return current;}for each neighbor in graph[current]:#处理current节点可以是打印、搜集信息等if neighbor 不在visited:queue.add(neighbor) #将邻居加入队列visited.add(neighbor) #标记为已访问return false #遍历结束，所有节点都已经访问过，均没有找到答案

📖走迷宫

第一个问题：能否看成一张图？将这个01迷宫看成是一张图，每个格子都能走到他上下左右四个格子，每个结点相连，最后形成一张图。

第二个问题，这张图是否为一张边权为1的图呢？从一个格子走到另一个格子，所花费步数是1，因此这是一张边权为1的图。
综上，启发我们用bfs解决问题。
但是我们还要解决几个问题：
1、怎么样得到当前结点的相邻结点？

2、怎么判断相邻的结点是合法的？

📚走迷宫

📖最少操作数



📚最少操作数

搜索基础代码模板

⭐️dfs

static void dfs(){if(递归终止条件){return;//结束递归}//更新状态进行下一次递归dfs();//回溯状态进行下一次递归dfs();
}

复杂度取决于递归树。

⭐️二进制搜索

复杂度为 O(2ⁿ)，枚举只有两种状态（选/不选）的全部方案。

for(int i = 0 ; i <= (1<<n)-1 ; i ++){for(int j = 0 ; j < n; j++){ // 枚举0 ~ n-1 位if((i>>j)%2== 1){ // 判断i的第j 位是否是1，即是否被选择//demo}}
}

⭐️bfs
等权图最值问题最短路。

static void bfs(){Queue<自定义类型> q=new ArryaDeque<>();//初始化状态q.offer(起点);st[起点]=true;while(!q.isEmpty){自定义类型 t=q.poll();if(t==终点){结束bfs;return;}遍历当前点所能到达的其余点;for(int v:剩余点){if(!st[v]){//剩余点没访问过的入队q.offer(v);st[v]=true;}}}没有找到答案且题有需求输出-1
}