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【深度学习|学习笔记】广义线性模型Generalized linear model（GLM）模型详解，附代码。

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前言

本文先给出对广义线性模型（GLM）关键内容的综合概述，然后分四大部分详细展开：起源与发展、模型原理、应用领域，以及 Python 实现示例。

• 广义线性模型（GLM）由 John Nelder 和 Robert Wedderburn 于 1972 年提出，统一了线性回归、逻辑回归、泊松回归等模型，通过“指数族分布＋链接函数＋线性预测”框架，实现对各类非正态响应变量的回归分析。
• GLM 的核心算法是迭代重加权最小二乘（IRLS）或等价的Fisher 得分方法，广泛应用于生物统计、经济学、风险管理、生态学等领域。
• Python 中可通过 statsmodels 和 scikit-learn 等库方便地构建和评估 GLM。

1 起源与发展

• 早在 20 世纪 50–60 年代，统计学家已认识到将非正态响应纳入回归分析的必要性；Kolmogorov–Arnold 表示定理表明任意连续函数可分解为单变量函数之和，但其构造难用。​
• 1972 年，Nelder 和 Wedderburn 在《Journal of the Royal Statistical Society》上正式提出 GLM 框架，展示了如何用最大似然与 IRLS 方法估计包括线性回归、Logit、Poisson 等在内的一大类回归模型参数，从而实现模型的“统一”​。
• 1974 年，Wedderburn 等人进一步在约束条件、准似然（quasi-likelihood）等方面拓展了 GLM 的理论与应用，奠定了后续各种分布族与方差函数的统计推断基础​。
• 到 1989 年，McCullagh 与 Nelder 在其经典专著《Generalized Linear Models》中系统化了 GLM 理论、算法与实现细节，使其成为统计学与机器学习课程的标配​。
• 90 年代后期至今，各种准则（如 AIC、BIC）、正则化（ridge、lasso）、广义估计方程（GEE）与混合效应扩展（GLMM）相继出现，极大丰富了 GLM 的实践与理论深度。

2 模型原理

2.1 三要素框架

GLM 由三部分组成：

• 随机成分（Random Component）：响应变量 $Y$ 服从指数族分布（如高斯、二项、泊松、Gamma 等）​。
• 系统成分（Systematic Component）：线性预测子 $\eta =X\beta$，其中 $X$ 为设计矩阵，$\beta$ 为待估参数。
• 链接函数（Link Function）：将条件期望 $\mu =E[Y\mid X]$ 与线性预测子连接：
  
  常见链接包括身份（identity）、对数（log）、logit 等​。

2.2 参数估计：IRLS 与 Fisher 得分

• 对数似然 $\ell (\beta )$ 关于 $\beta$ 求导得到得分函数 $u(\beta )$，用牛顿–拉夫森或 Fisher 得分迭代：
  
  其中 $I(\beta )$ 为 Fisher 信息矩阵。​
• 等价地，IRLS 将每一步视为对加权最小二乘问题求解，权重由当前 $\mu$ 和方差函数决定，直到收敛。

2.3 方差函数与分布族

指数族分布的一般形式决定了 GLM 中的方差函数 $V(\mu )$：

例如：

• 高斯：$V(\mu )=1$；
• 泊松：$V(\mu )=\mu$；
• 二项：$V(\mu )=\mu (1-\mu )$；
• Gamma：$V(\mu )={\mu }^2$。

3 应用领域

GLM 因其灵活性与可解释性，在各领域广泛应用：

• 生物统计与医学：Logistic 回归分析病例对照研究中风险因素与疾病的关联；Poisson 回归建模不良事件发生率​。
• 生态学：用 Poisson/负二项 GLM 研究物种分布与环境因子的非线性关系​。
• 金融与风险管理：信用评分模型（logit GLM）、保险索赔频率（Tweedie 分布 GLM）等​。
• 社会科学与经济学：评估教育、收入等因素对行为概率的影响；Gamma GLM 用于建模消费支出等正偏分布​。
• 工业与制造：故障率分析、寿命数据建模（Weibull/Gamma GLM）​。

4 Python 实现示例

下面用 statsmodels 和 scikit-learn 两个库分别演示 GLM 的典型回归。

4.1 statsmodels 中的 GLM

import statsmodels.api as sm
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris# 用 Iris 数据预测花瓣长度（连续）→ Gaussian GLM
iris = load_iris()
X = sm.add_constant(iris.data[:, :2])   # sepal length & width + intercept
y = iris.data[:, 2]                     # petal lengthmodel = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gaussian())  # 高斯 GLM(identity link)
result = model.fit()                                   # IRLS 拟合
print(result.summary())                                # 输出模型摘要​:contentReference[oaicite:12]{index=12}# 用同数据演示 Poisson 回归（count 模拟）
y_count = np.round(iris.data[:, 2]).astype(int)
pois = sm.GLM(y_count, X, family=sm.families.Poisson())  # 泊松 GLM(log link)
res2 = pois.fit()
print(res2.summary())                                   # 泊松回归结果​:contentReference[oaicite:13]{index=13}

4.2 scikit-learn 中的 Logistic 回归

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.model_selection import train_test_split# 二分类示例→Logistic GLM（logit link）
data = load_breast_cancer()
Xtr, Xte, ytr, yte = train_test_split(data.data, data.target, test_size=0.3, random_state=0)clf = LogisticRegression(max_iter=1000).fit(Xtr, ytr)
print("Test accuracy:", clf.score(Xte, yte))            # 准确率​:contentReference[oaicite:14]{index=14}

以上内容系统地回顾了 GLM 的起源与发展、理论框架、主要应用，以及 Python 中的两种典型实现，帮助在科研与工程实践中灵活运用广义线性模型。