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机器学习之线性回归（七）

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一、线性回归

线性回归超全指南：从“一条直线”到“正则化调参”的完整旅程

面向：想彻底吃透线性回归、并能在面试/竞赛/生产中直接落地的同学
代码：可直接复制运行，覆盖最小二乘、批量/随机/小批量梯度下降、Ridge/Lasso、特征工程、调参模板

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0. 先对齐语言：标称型 vs 连续型

类型	举例	能否做加减	机器学习任务
标称型 Nominal	颜色{红, 绿, 蓝}、性别{男, 女}	❌	分类
连续型 Continuous	温度 23.7 ℃、房价 512.3 万	✅	回归

线性回归只处理连续型目标变量 y。

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1. 问题形式化

给定数据集 $\mathcal{D}=\{({\mathbf{x}}^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1}^m$，其中

• ${\mathbf{x}}^{(i)}\in {\mathbb{R}}^n$（一行 $n$ 个特征）
• $y^{(i)}\in \mathbb{R}$

我们希望学到一个函数
$$\hat{y}=f(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b$$
使得预测误差最小。为了写矩阵方便，把 $b$ 吸收进 $\mathbf{w}$：
$$\hat{\mathbf{y}}=X\mathbf{w}$$
其中

• $X\in {\mathbb{R}}^{m\times (n+1)}$：最后一列全 1，把偏置 $b$ 当做 $w_0$
• $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^{n+1}$：待求参数

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2. 损失函数全景

名称	公式	特点	场景
MSE (L2)	$\frac{1}{m}|\mathbf{y}-X\mathbf{w}{|}_2^2$	光滑、可导	默认
MAE (L1)	$\frac{1}{m}|\mathbf{y}-X\mathbf{w}{|}_1$	对异常值鲁棒	数据脏
Huber	混合 L1/L2	鲁棒+光滑	竞赛
Quantile	…	预测分位数	金融风控

下文默认 MSE，因为闭式解 + 凸函数 + 可微。

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3. 求解方法 1：最小二乘（Normal Equation）

3.1 推导

对 MSE 求导并令导数为 0：
$${\nabla }_{\mathbf{w}}\text{Loss}=-2X^{\top }(\mathbf{y}-X\mathbf{w})=0\Rightarrow X^{\top }X\mathbf{w}=X^{\top }\mathbf{y}$$
若 $X^{\top }X$ 可逆，则
$$\boxed{\mathbf{w}=(X^{\top }X{)}^{-1}{X}^{\top }\mathbf{y}}$$
时间复杂度：$O(m{n}^2+n^3)$，特征 $n>10^4$ 基本跑不动。

3.2 代码

import numpy as np
from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 1. 数据
X, y = fetch_california_housing(return_X_y=True)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 2. 手动最小二乘
X_b = np.c_[np.ones((X_train.shape[0], 1)), X_train]   # 加一列 1
w_exact = np.linalg.inv(X_b.T @ X_b) @ X_b.T @ y_train# 3. 预测
X_test_b = np.c_[np.ones((X_test.shape[0], 1)), X_test]
y_pred = X_test_b @ w_exact
print("MSE (Normal):", mean_squared_error(y_test, y_pred))

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4. 求解方法 2：梯度下降家族

4.1 统一更新公式

$${\mathbf{w}}_{t+1}={\mathbf{w}}_t-\eta {\nabla }_{\mathbf{w}}\text{Loss}$$
对 MSE：
$${\nabla }_{\mathbf{w}}\text{Loss}=\frac{2}{m}{X}^{\top }(X\mathbf{w}-\mathbf{y})$$

算法	每次梯度计算量	更新频率	优点	缺点
BGD	全量 $m$ 条	1 epoch/次	稳定	慢
SGD	1 条	$m$ epoch/次	快、可在线	噪声大
MBGD	$b$ 条（batch）	$\lceil m/b\rceil$ epoch/次	折中	需调 batch

梯度下降图解：

4.2 自己写 SGD（单变量示例）

def sgd_linreg(X, y, lr=0.01, epochs=100, batch_size=32):m, n = X.shapeX = np.c_[np.ones(m), X]               # 加偏置w = np.random.randn(n + 1)for epoch in range(epochs):idx = np.random.permutation(m)for i in range(0, m, batch_size):sl = idx[i:i+batch_size]grad = 2/len(sl) * X[sl].T @ (X[sl] @ w - y[sl])w -= lr * gradreturn w

4.3 sklearn 一键调用

from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScalerscaler = StandardScaler()
X_train_s = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_s  = scaler.transform(X_test)sgd = SGDRegressor(loss='squared_error',penalty='l2',        # Ridgealpha=1e-4,          # 正则强度 λlearning_rate='adaptive',eta0=0.01,max_iter=1000,random_state=42)sgd.fit(X_train_s, y_train)
print("MSE (SGD):", mean_squared_error(y_test, sgd.predict(X_test_s)))

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5. 特征工程三板斧

1. 标准化：梯度下降必须！
   StandardScaler 或 RobustScaler（对异常值稳）。
2. 多项式特征：线性不可分时升维

   from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
   poly = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
   X_poly = poly.fit_transform(X)
   

3. 离散特征编码：One-Hot 后当作数值即可。

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6. 正则化：专治过拟合

6.1 目标函数

• Ridge (L2)：
  $$\text{Loss}=\frac{1}{2m}\Vert \mathbf{y}-X\mathbf{w}{\Vert }_2^2+\lambda \Vert \mathbf{w}{\Vert }_2^2$$
• Lasso (L1)：
  $$\text{Loss}=\frac{1}{2m}\Vert \mathbf{y}-X\mathbf{w}{\Vert }_2^2+\lambda \Vert \mathbf{w}{\Vert }_1$$
• Elastic Net：L1 + L2 的加权组合。

6.2 调参模板（GridSearchCV）

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.linear_model import RidgeCV, LassoCValphas = np.logspace(-3, 3, 20)
ridge = RidgeCV(alphas=alphas, cv=5)
ridge.fit(X_train_s, y_train)
print("Best α Ridge:", ridge.alpha_)

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7. 实战：完整 Pipeline

from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler, PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import Ridgepipe = Pipeline([('scaler', StandardScaler()),('poly', PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)),('reg', Ridge(alpha=1.0))
])pipe.fit(X_train, y_train)
print("Test MSE:", mean_squared_error(y_test, pipe.predict(X_test)))

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8. 面试 8 连击

1. 最小二乘一定可逆吗？
   不一定，需 $X^{\top }X$ 满秩；不可逆时用伪逆或加 $\lambda I$（Ridge）。
2. MSE vs MAE 对异常值？
   MSE 平方放大异常值；MAE 线性增长。
3. 梯度下降为什么会震荡？
   学习率过大 or 特征未标准化。
4. L1 为什么能做特征选择？
   解空间为菱形，最优解易落在顶点 → 某些权重=0。
5. Ridge 与 Lasso 何时选？
   高维+稀疏 → Lasso；特征相关性强 → Ridge。
6. 多项式升维后还是线性回归吗？
   对 参数 仍线性，对 特征 非线性。
7. SGD 如何选 batch_size？
   小数据 32~256；GPU 训练可 1024+。
8. 如何监控收敛？
   画 loss vs epoch 曲线；早停（Early Stopping）。

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9. 可视化：一条直线的前世今生

import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X_train[:,0], y_train, s=5)
plt.plot(X_test[:,0], ridge.predict(X_test), 'r')
plt.title("Ridge Regression on California Housing")
plt.show()

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10. 总结脑图（文字版）

数据 → 清洗/标准化 → 特征工程(多项式/离散化)  ↓选模型├─ 最小二乘(闭式解) —— 小数据、可解释├─ 梯度下降家族 —— 大数据、在线学习│   ├─ BGD(全量)│   ├─ MBGD(batch)│   └─ SGD(单条)└─ 正则化├─ Ridge(L2)├─ Lasso(L1)└─ Elastic Net↓评估(MSE/R²/MAE) → 调参(α, degree, batch, lr) → 上线

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