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粒子滤波（Particle Filter, PF）

粒子滤波是一种基于蒙特卡洛方法的贝叶斯滤波算法，主要用于解决非线性、非高斯的状态估计问题。它广泛应用于机器人定位、目标跟踪、金融建模等领域。

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1. 粒子滤波的基本概念

粒子滤波的核心思想是用一组加权的**随机样本（粒子）**来近似后验概率分布，而非采用卡尔曼滤波那样的参数化分布假设（如高斯分布）。

设系统的状态模型如下：

$$x_k=f(x_{k-1},u_k,w_k)$$

$$z_k=h(x_k,v_k)$$

其中：

• $x_k$ 是系统在时间 $k$ 时刻的状态，
• $u_k$ 是控制输入，
• $w_k$ 是过程噪声，
• $z_k$ 是观测值，
• $v_k$ 是观测噪声，
• $f(\cdot )$ 和 $h(\cdot )$ 分别是状态转移函数和观测函数。

目标是估计后验分布：

$$p(x_k|z_{1:k})$$

由于状态转移和观测过程可能是高度非线性的，并且噪声可能是非高斯的，无法用解析方法直接求解，因此粒子滤波采用蒙特卡洛方法进行近似计算。

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2. 粒子滤波的算法步骤

(1) 初始化

初始化 $N$ 个粒子 { x k i } i = 1 N \{x_k^i\}_{i=1}^{N} {xki​}i=1N​ 及其权重 { w k i } i = 1 N \{w_k^i\}_{i=1}^{N} {wki​}i=1N​：

$$x_0^i\sim p(x_0)$$

$$w_0^i=\frac{1}{N}$$

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(2) 预测（重要性采样）

根据状态转移模型，对每个粒子进行采样：

$$x_k^i\sim p(x_k|x_{k-1}^i)$$

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(3) 更新（计算权重）

利用观测值 $z_k$ 计算每个粒子的权重：

$$w_k^i=w_{k-1}^i\cdot \frac{p(z_k|x_k^i)}{q(x_k^i|x_{k-1}^i,z_k)}$$

如果选择 $q(x_k^i|x_{k-1}^i,z_k)=p(x_k|x_{k-1}^i)$，则简化为：

$$w_k^i=w_{k-1}^i\cdot p(z_k|x_k^i)$$

归一化权重：

$$w_k^i=\frac{w_k^i}{{\sum }_{j=1}^N{w}_k^j}$$

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(4) 重采样（Resampling）

根据粒子的权重进行重采样，以避免退化问题。

常见方法包括：

• 系统重采样（Systematic Resampling）
• 多项式重采样（Multinomial Resampling）

新粒子的权重均设为：

$$w_k^i=\frac{1}{N}$$

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(5) 估计状态

最终状态估计可通过加权平均计算：

$${\hat{x}}_k=\sum _{i=1}^N{w}_k^i{x}_k^i$$

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3. 关键技术与优化方法

(1) 选择合适的粒子数

• 过少：近似误差大
• 过多：计算量高

(2) 重要性分布优化

利用观测信息优化采样，提高效率。

(3) 自适应重采样

根据有效粒子数 $N_{\text{eff}}$ 判断是否重采样：

$$N_{\text{eff}}=\frac{1}{{\sum }_{i=1}^N(w_k^i{)}^2}$$

若 $N_{\text{eff}}<N_{\text{thresh}}$，则执行重采样。

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4. 粒子滤波的优缺点

优点

• 适用于非线性、非高斯问题。
• 可逼近任何分布。
• 能够跟踪多模态分布。

缺点

• 计算复杂度较高。
• 可能出现粒子退化。
• 需要大量粒子来逼近真实分布。

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5. 应用案例

• 机器人定位
• 视觉目标跟踪
• 金融数据分析
• 信号处理

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总结

粒子滤波是一种强大的贝叶斯滤波方法，适用于非线性和非高斯环境。通过合理选择粒子数、优化重要性采样和自适应重采样，可以提高算法的效率和准确性。