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引言：什么是广度优先遍历？
广度优先遍历（BFS）是一种用于遍历或搜索树（Tree）和图（Graph）结构的算法。其核心思想是逐层访问节点，先访问离起点最近的节点，再逐步向外扩展。BFS 被广泛应用于最短路径查找、社交网络分析、迷宫求解等领域。本文将通过实例详细解析 BFS 的工作原理、实现方式及其实际应用。
一、BFS 的算法原理
1.1 核心思想：队列与分层遍历
BFS 的关键在于使用**队列（Queue）**这一数据结构。算法步骤如下：
-
将起点加入队列，并标记为已访问。
-
循环执行以下操作，直到队列为空：
-
从队列中取出一个节点（队首元素）。
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访问该节点的所有未被访问的邻居节点，依次加入队列并标记为已访问。
-
通过这种方式，BFS 保证了所有节点按距离起点的层级顺序被访问。
1.2 算法伪代码
def BFS(graph, start):queue = deque([start]) # 初始化队列visited = set([start]) # 记录已访问节点while queue:node = queue.popleft() # 取出队首节点print(node) # 处理节点（例如打印）for neighbor in graph[node]: # 遍历邻居if neighbor not in visited:visited.add(neighbor)queue.append(neighbor)二、实例解析：BFS 如何工作？
2.1 实例1：二叉树的层次遍历
问题描述：给定一棵二叉树，按层输出所有节点的值（从左到右）。
输入二叉树：
复制
1/ \2 3/ \ /4 5 6
BFS 过程：
-
初始队列：
[1]，访问第1层：1。 -
处理节点1，将其子节点2、3入队。队列：
[2, 3]，访问第2层：2, 3。 -
处理节点2，子节点4、5入队。队列：
[3, 4, 5]。 -
处理节点3，子节点6入队。队列：
[4, 5, 6]，访问第3层：4, 5, 6。 -
处理剩余节点（均为叶子节点），队列逐步清空。
输出结果：[[1], [2,3], [4,5,6]]。
代码实现（Python）：
from collections import dequeclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef level_order(root):if not root:return []queue = deque([root])result = []while queue:level_size = len(queue)current_level = []for _ in range(level_size):node = queue.popleft()current_level.append(node.val)if node.left:queue.append(node.left)if node.right:queue.append(node.right)result.append(current_level)return result# 测试代码
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
root.right.left = TreeNode(6)
print(level_order(root)) # 输出：[[1], [2, 3], [4, 5, 6]]2.2 实例2：图的社交网络好友推荐
问题描述：在社交网络中，如何找到某个用户的“二度好友”（好友的好友），并按距离排序？
输入图结构（邻接表表示）：
graph = { 'Alice': ['Bob', 'Charlie'], 'Bob': ['Alice', 'Diana', 'Eve'], 'Charlie': ['Alice', 'Frank'], 'Diana': ['Bob'], 'Eve': ['Bob', 'Grace'], 'Frank': ['Charlie'], 'Grace': ['Eve'] }
BFS 过程（以 Alice 为起点）：
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第0层（直接好友）：
Bob, Charlie。 -
第1层（二度好友）：
Diana, Eve, Frank（通过 Bob 和 Charlie 访问）。 -
第2层（三度好友）：
Grace（通过 Eve 访问）。
输出结果：
-
二度好友：
Diana, Eve, Frank（距离为2）。
代码实现：
from collections import dequedef find_second_degree_friends(graph, start):queue = deque([(start, 0)]) # (节点, 距离)visited = {start: 0}second_degree = []while queue:user, distance = queue.popleft()if distance == 2:second_degree.append(user)for neighbor in graph[user]:if neighbor not in visited:visited[neighbor] = distance + 1queue.append((neighbor, distance + 1))return second_degree# 测试
print(find_second_degree_friends(graph, 'Alice')) # 输出：['Diana', 'Eve', 'Frank']2.3 实例3：迷宫最短路径
问题描述：在一个二维矩阵表示的迷宫中（0代表可通行，1代表障碍），求从起点到终点的最短路径。
输入迷宫：
[[0, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 1],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 0] ] 起点 (0,0)，终点 (3,3)。
BFS 过程：
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从起点 (0,0) 开始，向四个方向（上下左右）探索。
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逐层记录可达的坐标，并标记已访问。
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第一次到达终点 (3,3) 时的路径即为最短路径。
最短路径长度：6步（路径示例：(0,0) → (1,0) → (1,1) → (1,2) → (2,2) → (3,2) → (3,3)）。
代码实现：
from collections import dequedef shortest_path(maze, start, end):rows = len(maze)cols = len(maze[0])directions = [(-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1)] # 上下左右queue = deque([(start[0], start[1], 0)]) # (x, y, 步数)visited = set([(start[0], start[1])])while queue:x, y, steps = queue.popleft()if (x, y) == end:return stepsfor dx, dy in directions:nx, ny = x + dx, y + dyif 0 <= nx < rows and 0 <= ny < cols:if maze[nx][ny] == 0 and (nx, ny) not in visited:visited.add((nx, ny))queue.append((nx, ny, steps + 1))return -1 # 不可达# 测试 maze = [[0, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 1],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 0, 0] ] print(shortest_path(maze, (0,0), (3,3))) # 输出：6
三、BFS 的应用场景
3.1 最短路径问题
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无权图的最短路径：BFS 天然保证首次访问到目标节点的路径是最短的（如迷宫问题）。
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网络路由算法：路由器使用类似 BFS 的算法寻找最短跳数路径。
3.2 社交网络分析
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好友推荐：查找用户的二度、三度好友。
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影响力传播模型：模拟信息在社交网络中的扩散过程。
3.3 状态空间搜索
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八数码问题：通过 BFS 找到从初始状态到目标状态的最少移动次数。
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游戏 AI（如象棋、围棋）：生成所有可能的走法并评估最优解。
四、BFS 与 DFS 的对比
| 特性 | BFS | DFS |
|---|---|---|
| 数据结构 | 队列（Queue） | 栈（Stack） |
| 空间复杂度 | 高（存储所有当前层节点） | 低（存储路径上的节点） |
| 适用场景 | 最短路径、分层遍历 | 拓扑排序、连通性检测、回溯问题 |
| 解的性质 | 首次找到的解一定最优 | 可能找到非最优解 |
五、总结
广度优先遍历通过逐层扫描的方式，为解决最短路径、层级关系分析等问题提供了高效的方法。其核心在于队列的先进先出（FIFO）特性，确保节点按距离顺序被处理。无论是社交网络中的好友推荐，还是迷宫中的最短路径查找，BFS 都展现了其强大的实用性。理解 BFS 不仅有助于掌握算法基础，更能培养“分层思考”的编程思维。