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最大正方形边长问题详解
一、问题描述
给定一个大小为 m×n 的矩阵 mat 和一个整数阈值 threshold，要求返回元素总和小于或等于阈值的正方形区域的最大边长；如果没有这样的正方形区域，则返回 0。
二、解题思路
前缀和矩阵的概念与构建
前缀和矩阵是一种用于快速计算子矩阵和的工具。我们构建一个 (m+1)×(n+1) 的前缀和矩阵 pre，其中 pre[i][j] 表示原矩阵左上角 (0,0) 到 (i-1,j-1) 的子矩阵元素之和。构建方法如下：
对于原矩阵的每个元素 mat[i][j]，其对应的前缀和矩阵元素 pre[i+1][j+1] 可以通过以下公式计算： pre[i+1][j+1] = mat[i][j] + pre[i][j+1] + pre[i+1][j] - pre[i][j]
迭代可能的正方形大小
从最大的可能正方形边长（由矩阵的较小维度决定）开始，逐步减小边长进行检查。对于每个可能的边长 k，遍历矩阵中所有可能的正方形位置，计算其元素和并判断是否满足条件。
计算正方形元素和
利用前缀和矩阵，可以快速计算任意正方形区域的元素和。对于以 (i,j) 为左上角、边长为 k 的正方形，其元素和可以通过以下公式计算： sum = pre[i + k][j + k] - pre[i][j + k] - pre[i + k][j] + pre[i][j]
三、详细代码实现
class Solution {public int maxSideLength(int[][] mat, int threshold) {int m = mat.length;if (m == 0) return 0;int n = mat[0].length;int[][] pre = new int[m + 1][n + 1];// 构建前缀和矩阵for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {pre[i + 1][j + 1] = mat[i][j] + pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j];}}// 确定最大可能的正方形边长int minSide = Math.min(m, n);// 从大到小检查每个可能的正方形边长for (int k = minSide; k >= 1; k--) {// 遍历所有可能的正方形位置for (int i = 0; i <= m - k; i++) {for (int j = 0; j <= n - k; j++) {// 计算当前正方形的元素和int sum = pre[i + k][j + k] - pre[i][j + k] - pre[i + k][j] + pre[i][j];// 如果满足条件，返回当前边长if (sum <= threshold) {return k;}}}}// 如果没有找到满足条件的正方形，返回 0return 0;}
}四、算法分析
时间复杂度
构建前缀和矩阵的时间复杂度为 O(mn)。对于每个可能的正方形边长 k，遍历矩阵的时间复杂度为 O((m - k + 1)(n - k + 1))。由于 k 最多为 min(m, n)，总的时间复杂度为 O(mn + min(m,n) * (m - k + 1)(n - k + 1)))，在最坏情况下为 O(mn^2) 或 O(nm^2)，取决于 m 和 n 的大小关系。
空间复杂度
前缀和矩阵的大小为 (m + 1)×(n + 1)，因此空间复杂度为 O(mn)。
五、详细讲解
前缀和矩阵的构建
前缀和矩阵的构建是本题的关键步骤之一。通过构建前缀和矩阵，我们可以将任意子矩阵和的计算时间从 O(k^2) 降低到 O(1)，其中 k 是子矩阵的边长。这对于多次计算子矩阵和的场景非常高效。
具体来说，前缀和矩阵 pre 的构建过程如下：
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初始化一个 (m+1)×(n+1) 的矩阵 pre，其中 pre[0][0] = 0。
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对于原矩阵的每个元素 mat[i][j]，计算 pre[i+1][j+1] = mat[i][j] + pre[i][j+1] + pre[i+1][j] - pre[i][j]。这个公式可以理解为：当前位置的前缀和等于上方的前缀和、左方的前缀和以及左上方的前缀和的差值，再加上当前位置的元素值。
迭代可能的正方形大小
我们从最大的可能正方形边长开始检查，逐步减小边长。这是因为一旦找到满足条件的最大边长，就可以直接返回结果，而无需继续检查更小的边长。
具体步骤如下：
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确定最大可能的正方形边长 minSide，即矩阵的较小维度。
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从 k = minSide 开始，逐步减小 k 的值，直到 k = 1。
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对于每个 k，遍历矩阵中所有可能的正方形位置，计算其元素和并判断是否满足条件。
计算正方形元素和
利用前缀和矩阵，可以快速计算任意正方形区域的元素和。对于以 (i,j) 为左上角、边长为 k 的正方形，其元素和可以通过以下公式计算： sum = pre[i + k][j + k] - pre[i][j + k] - pre[i + k][j] + pre[i][j]
这个公式可以理解为：当前位置的前缀和减去上方的前缀和和左方的前缀和，再加上左上方的前缀和（因为被减去了两次）。
判断条件
对于每个计算出的正方形元素和 sum，如果 sum <= threshold，则返回当前的边长 k。因为是从大到小检查的，所以第一个满足条件的 k 就是最大的可能边长。
六、实际应用
这种最大正方形边长问题在实际中有许多应用场景，例如：
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图像处理：在图像中检测特定大小的亮区或暗区。
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数据分析：在数据矩阵中查找满足特定条件的最大连续区域。
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模式识别：在矩阵中识别满足特定条件的最大正方形模式。
七、总结
本题主要考察了前缀和矩阵的应用以及如何高效地查找满足条件的最大正方形。通过构建前缀和矩阵，我们能够快速计算任意子矩阵的和，从而在较短的时间内解决问题。这种技术在图像处理、矩阵分析等领域有广泛的应用，例如计算图像中的区域亮度、检测特定模式等。