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wzjs 2025/9/13 9:48:44

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二叉排序树（Binary Search Tree, BST） 是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：

对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
对于树中的每个节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别是二叉排序树。

二叉排序树的主要用途是实现动态集合操作，如插入、删除和查找。

1. 二叉排序树的基本操作

1.1 查找

在二叉排序树中查找一个值：

如果当前节点为空，返回 nullptr。
如果目标值等于当前节点的值，返回当前节点。
如果目标值小于当前节点的值，递归查找左子树。
如果目标值大于当前节点的值，递归查找右子树。

代码实现：

TreeNode* search(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr || root->val == key) {return root;}if (key < root->val) {return search(root->left, key);} else {return search(root->right, key);}
}

1.2 插入

在二叉排序树中插入一个新值：

如果当前节点为空，创建一个新节点并返回。
如果目标值小于当前节点的值，递归插入到左子树。
如果目标值大于当前节点的值，递归插入到右子树。

代码实现：


TreeNode* insert(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) {return new TreeNode(key);}if (key < root->val) {root->left = insert(root->left, key);} else if (key > root->val) {root->right = insert(root->right, key);}return root;
}

1.3 删除

在二叉排序树中删除一个值：

如果当前节点为空，返回 nullptr。
如果目标值小于当前节点的值，递归删除左子树中的节点。
如果目标值大于当前节点的值，递归删除右子树中的节点。
如果目标值等于当前节点的值：
- 如果节点是叶子节点，直接删除。
- 如果节点只有一个子节点，用子节点替换当前节点。
- 如果节点有两个子节点，用右子树的最小值（或左子树的最大值）替换当前节点的值，然后删除右子树的最小值。

代码实现：

TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) {return nullptr;}if (key < root->val) {root->left = deleteNode(root->left, key);} else if (key > root->val) {root->right = deleteNode(root->right, key);} else {// 节点是叶子节点或只有一个子节点if (root->left == nullptr) {TreeNode* temp = root->right;delete root;return temp;} else if (root->right == nullptr) {TreeNode* temp = root->left;delete root;return temp;}// 节点有两个子节点TreeNode* temp = findMin(root->right); // 找到右子树的最小值root->val = temp->val; // 用最小值替换当前节点的值root->right = deleteNode(root->right, temp->val); // 删除右子树的最小值}return root;
}TreeNode* findMin(TreeNode* root) {while (root->left != nullptr) {root = root->left;}return root;
}

2. 二叉排序树的遍历

二叉排序树的中序遍历结果是一个有序序列。

2.1 中序遍历

void inorder(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inorder(root->left);cout << root->val << " ";inorder(root->right);
}

2.2 前序遍历

void preorder(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;cout << root->val << " ";preorder(root->left);preorder(root->right);
}

2.3 后序遍历

void postorder(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;postorder(root->left);postorder(root->right);cout << root->val << " ";
}

3. 二叉排序树的性质

有序性：中序遍历结果是一个有序序列。
动态操作：支持高效的插入、删除和查找操作。
最坏情况：如果树退化为链表，时间复杂度会退化为 O(n)O(n)。

4. 平衡二叉排序树（BBST）

为了避免二叉排序树退化为链表，可以使用平衡二叉排序树（如 AVL 树、红黑树），它们通过旋转操作保持树的平衡，确保操作的时间复杂度为 O(log⁡n)O(logn)。

5. 代码示例：完整的二叉排序树实现

#include <iostream>
using namespace std;struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};class BST {
private:TreeNode* root;TreeNode* insert(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) {return new TreeNode(key);}if (key < root->val) {root->left = insert(root->left, key);} else if (key > root->val) {root->right = insert(root->right, key);}return root;}TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) {return nullptr;}if (key < root->val) {root->left = deleteNode(root->left, key);} else if (key > root->val) {root->right = deleteNode(root->right, key);} else {if (root->left == nullptr) {TreeNode* temp = root->right;delete root;return temp;} else if (root->right == nullptr) {TreeNode* temp = root->left;delete root;return temp;}TreeNode* temp = findMin(root->right);root->val = temp->val;root->right = deleteNode(root->right, temp->val);}return root;}TreeNode* findMin(TreeNode* root) {while (root->left != nullptr) {root = root->left;}return root;}void inorder(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inorder(root->left);cout << root->val << " ";inorder(root->right);}public:BST() : root(nullptr) {}void insert(int key) {root = insert(root, key);}void deleteNode(int key) {root = deleteNode(root, key);}void inorder() {inorder(root);cout << endl;}
};int main() {BST tree;tree.insert(50);tree.insert(30);tree.insert(20);tree.insert(40);tree.insert(70);tree.insert(60);tree.insert(80);cout << "Inorder traversal: ";tree.inorder();cout << "Delete 20\n";tree.deleteNode(20);tree.inorder();cout << "Delete 30\n";tree.deleteNode(30);tree.inorder();cout << "Delete 50\n";tree.deleteNode(50);tree.inorder();return 0;
}