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1. 算法逻辑

• 核心思想
  通过线性方程拟合数据，最小化预测值与真实值的误差平方和，解决回归问题。
  示例：根据房屋面积和房间数量预测房价。

• 算法流程

  1. 初始化模型参数（权重 $\theta$ 和偏置 ${\theta }_0$）。
  2. 计算预测值 $\hat{y}={\theta }^{T}X+{\theta }_0$。
  3. 计算损失函数（均方误差，MSE）。
  4. 通过梯度下降更新参数，最小化损失。
  5. 重复步骤2-4直至收敛。

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2. 算法原理与数学推导

• 数学基础
  基于最小二乘法，通过优化均方误差损失函数求解最优参数。

• 关键公式推导

  • 假设函数：
    $$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_n{x}_n={\theta }^{T}X$$
  • 损失函数（MSE）：
    $$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}^2$$
  • 梯度下降更新规则：
    $${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}$$
    其中：
    $$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)x_j^{(i)}$$
    • 对偏置项 ${\theta }_0$：
      $$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_0}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)$$

• 闭式解（正规方程）
  当特征矩阵 $X$ 可逆时，直接求解：
  $$\theta ={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}y$$

• 超参数说明

  超参数	作用	示例值
  学习率 $\alpha$	控制参数更新步长	0.01
  迭代次数	决定训练终止条件	1000

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3. 评估指标

指标	公式	特点
均方误差 (MSE)	$$\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2$$	对异常值敏感，数值越小越好
平均绝对误差 (MAE)	$$\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \left	y_i - \hat{y}_i \right
决定系数 ($R^2$)	$$1-\frac{{\sum }_{i=1}^m{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}{{\sum }_{i=1}^m{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}$$	越接近1表示模型解释力越强

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4. 应用案例

• 经典场景

  • 波士顿房价预测：根据房屋特征（房间数、犯罪率等）预测房价中位数。
  • 销售额预测：基于广告投入（电视、报纸、广播）预测产品销售额。

• 实现代码片段

  # 使用Scikit-learn实现
  from sklearn.linear_model import LinearRegression
  from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score# 训练模型
  model = LinearRegression()
  model.fit(X_train, y_train)# 预测与评估
  y_pred = model.predict(X_test)
  print("MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred))
  print("R²:", r2_score(y_test, y_pred))# 输出参数
  print("权重:", model.coef_)
  print("偏置:", model.intercept_)
  

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5. 面试题

• 理论类问题
  Q1：线性回归的假设条件是什么？
  答案：

  1. 线性关系：特征与目标变量呈线性关系。
  2. 误差独立同分布：残差服从均值为0的正态分布，且相互独立。
  3. 同方差性：残差的方差恒定。
  4. 无多重共线性：特征之间不存在高度相关性。

  Q2：梯度下降和正规方程的区别是什么？
  答案：

  • 梯度下降：迭代优化，适合大规模数据（时间复杂度 $O(m{n}^2)$），需调学习率。
  • 正规方程：直接求解解析解，适合小规模数据（时间复杂度 $O(n^3)$），要求 $X^{T}X$ 可逆。

• 编程类问题
  Q3：手写梯度下降实现线性回归

  def linear_regression_gd(X, y, alpha=0.01, epochs=1000):m, n = X.shapetheta = np.zeros(n)for _ in range(epochs):y_pred = X.dot(theta)error = y_pred - ygradient = (1/m) * X.T.dot(error)theta -= alpha * gradientreturn theta
  

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6. 扩展分析

• 算法变种

  变种	改进点	适用场景
  岭回归 (Ridge)	加入L2正则化，防止过拟合	特征多重共线性较强时
  Lasso回归	加入L1正则化，自动特征选择	高维稀疏数据

• 与其他算法对比

  维度	线性回归	决策树回归
  可解释性	高（权重明确）	中等（树结构可解释）
  非线性拟合能力	弱（需手动特征工程）	强（自动处理非线性）
  训练速度	快（闭式解或简单迭代）	中等（需构建树结构）

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总结

线性回归是机器学习入门核心算法，需重点掌握：

1. 数学推导：损失函数、梯度下降、正规方程。
2. 应用限制：假设条件不满足时（如非线性关系），需改用多项式回归或树模型。
3. 面试考点：从理论假设到代码实现的全链路理解。