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🎒 背包问题的四大经典类型

类型	物品数量	每个物品能否重复选	对应问题	循环顺序
0-1 背包	有限	每个物品只能选一次	选或不选	容量在内层（倒序）
完全背包	无限	每个物品可重复选	组合数、零钱兑换	容量在内层（顺序），物品在外层
多重背包	有限	每个物品最多选 k 次	扩展型	可以转换为多个 0-1 背包
分组背包	分组有限	每组最多选一个物品	分组选择	每组内物品做 0-1 背包

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💡 简析每种类型

1. 0-1 背包问题

• 每个物品最多只能选一次
• 物品在外层，容量倒序遍历（避免重复选择）
• 常用于：最大价值问题，选择是否放入物品
• 示例代码结构：

for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = capacity; j >= weight[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

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2. 完全背包问题

• 每种物品可以无限次使用
• 物品在外层，容量正序遍历（允许重复使用）
• 常用于：硬币兑换问题（Leetcode 518 零钱兑换 II）
• 示例结构：

for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = weight[i]; j <= capacity; j++) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

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3. 多重背包问题

• 每种物品最多用 k 次
• 解决方法：
  • 转换为多个 0-1 背包（例如 3 件 A → 拆成 3 个 A）
  • 更优做法：二进制优化（拆分为 1, 2, 4... 等次方组合）

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4. 分组背包问题

• 多个物品分组，每组最多只能选一个
• 每组内部做一次 0-1 背包选择
• 用于：角色装备选择、选修课、产品组合

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🎯 背包问题的循环结构总结

背包类型	外层循环	内层循环	备注
0-1 背包	遍历物品	容量 倒序	防止重复选择
完全背包	遍历物品	容量 正序	允许重复选择
多重背包	拆成多个 0-1 背包	同 0-1 背包	或用二进制优化
分组背包	遍历分组	遍历每组内物品 + 容量倒序	每组最多选一个

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