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  支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种经典的监督学习算法，主要用于分类任务，也可扩展到回归问题（称为支持向量回归，SVR）。其核心思想是通过寻找一个最优超平面，最大化不同类别数据之间的间隔（Margin），从而实现高效分类。

一、核心思想

  SVM的目标是找到一个决策边界（超平面），将不同类别的数据分开，并确保该边界到最近数据点（支持向量）的距离最大。这种“最大化间隔”的策略使得模型具有更好的泛化能力。

超平面（Hyperplane）：

  在n维空间中，一个超平面是n-1维的子空间。对于二维数据，超平面是一条直线；三维数据中是一个平面。

支持向量（Support Vectors）：

  距离最优超平面最近的样本点称为支持向量，它们是决定超平面位置的关键样本。其他样本的位置对超平面无影响，这也是“SVM”名称的由来。

间隔（Margin）：

  超平面到两类最近支持向量的距离之和。SVM的目标是最大化间隔。
  设超平面方程为$w\cdot x+b=0$（其中$w$是权重向量，$b$是偏置），则单个样本点$x_i$到超平面的距离为：
$$距离=\frac{\left|w\cdot x_i+b\right|}{\left|\left|w\right|\right|}$$

  最优超平面需满足：对于正类样本，有$w\cdot x_i+b\ge 1$；对于负类样本，有$w\cdot x_i+b\le -1$ 。此时，间隔为 $\frac{2}{||w||}$，最大化间隔等价于最小化${\left|\left|w\right|\right|}^2$。

二、线性可分情况（硬间隔SVM）

  假设数据线性可分，SVM的优化问题可表示为

    ${\min }_{w,b}\frac{1}{2}{\left|\left|w\right|\right|}^2$   s.t. $y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1(\forall i)$

  目标：最小化$\left|\left|w\right|\right|$（等价于最大化间隔$\frac{2}{||w||}$）。
  约束：确保所有样本被正确分类且位于间隔边界之外。

三、非线性可分情况（软间隔SVM）

  当样本无法被线性超平面分隔时，SVM 通过以下方法处理：

1. 引入松弛变量（Slack Variables）

  允许部分样本跨越超平面，但需在优化目标中加入惩罚项（即正则化参数$C$），平衡间隔最大化和分类错误最小化

    ${\min }_{w,b}\frac{1}{2}{\left|\left|x\right|\right|}^2+C{\sum }_i{\xi }_i$   s.t. $y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0$

  $C$的作用：控制分类错误的惩罚力度。$C$越大，模型越严格（可能过拟合）；$C$越小，允许更多错误（可能欠拟合）。

2. 核技巧（Kernel Trick）

  对于非线性可分数据，SVM通过核函数将原始空间映射到高维特征空间，使数据在新空间中线性可分。常见核函数有
  线性核：$K(x_i,x_j)=x_i\cdot x_j$
  多项式核：$K(x_i,x_j)=(x_i\cdot x_j+c{)}^d$
  高斯径向基核（RBF）：$K(x_i,x_j)=exp(-\gamma {\left|\left|x_i-x_j\right|\right|}^2)$
  Sigmoid核： $K(x_i,x_j)=tanh(\alpha x_i\cdot x_j+c)$

四、优化与求解

  SVM通常转化为对偶问题，利用拉格朗日乘子法求解：

    $ma{x}_{\alpha }{\sum }_i{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i,j}{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j)$  s.t. $0\le {\alpha }_i\le C,{\sum }_i{\alpha }_i{y}_i=0$

  通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，优势在于：

    a) 将高维空间中的内积运算转化为核函数计算（避免直接处理高维数据）；
    b) 解的形式仅依赖于支持向量，计算效率更高。

五、Python实现示例

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import accuracy_score# 加载鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data  # 特征
y = iris.target  # 标签# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42
)# 创建SVM分类器
clf = SVC(kernel='linear')  # 使用线性核函数# 训练模型
clf.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = clf.predict(X_test)# 评估模型
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"模型准确率: {accuracy:.2f}")# 预测新样本
new_samples = [[5.1, 3.5, 1.4, 0.2], [6.3, 3.3, 4.7, 1.6]]
predictions = clf.predict(new_samples)
print(f"新样本预测结果: {[iris.target_names[p] for p in predictions]}")

End.