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文章目录
- HighLight
- 1. 参数方程（向量形式）
- 2. 对称式方程（点向式）
- 3. 一般方程（两平面交线）
- 4. 两点式方程
- 5. Plücker坐标（高级方法）
- 6. 方法对比与选择建议
无论是二维还是三维空间的直线方程，它们都是用来描述满足特定条件的所有点的集合，即直线的轨迹。虽然两者都描述直线，但二维空间直线方程更多地与平面几何相关，表示平面内满足某一条件的所有点的集合。而三维空间直线方程则与立体几何相关，表示空间中满足某一条件的所有点的轨迹，具有更复杂的几何意义。
在二维空间中，直线方程除了一般方程外，还有参数方程、斜截式。而在三维空间中，由于坐标轴的增多，其表示形式也更多，其中参数方程形式更为常用和直观。
HighLight
| 表示方法 | 核心公式 |
|---|---|
| 一般方程 | A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. \begin{array}{c}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0, \\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0.\end{array} A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0. |
| 参数方程 | r = r 0 + t v \mathbf{r} =\mathbf{r_0}+t\mathbf{v} r=r0+tv |
| 对称式 | x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} ax−x0=by−y0=cz−z0 |
| 两点式 | x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1 |
| Plücker坐标 | L = ( v , r 0 × v ) \mathbf{L}=(\mathbf{v},\mathbf{r_0}\times\mathbf{v}) L=(v,r0×v) |
应用
动态分析：参数方程或向量式。
几何直观：对称式或两点式。
高效计算：Plücker坐标。
1. 参数方程（向量形式）
由直线上一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)和方向向量 v = ( a , b , c ) \mathbf{v}=(a,b,c) v=(a,b,c)确定，形式为：
{ x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=x0+aty=y0+btz=z0+ct
2. 对称式方程（点向式）
3. 一般方程（两平面交线）
4. 两点式方程
也可以作如下表示：
5. Plücker坐标（高级方法）
注意事项：
对称式方程需处理分母为零的情况（如固定坐标分量）。
交面式方程需确保两平面确实相交于一条直线，而非平行或重合。
参数方程和两点式本质相同，均通过方向向量参数化直线。
这些方法在不同场景下各有优势，参数方程便于生成点，对称式直观，交面式适合代数分析，而Plücker坐标适用于几何计算。
6. 方法对比与选择建议
空间直线及其方程