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wzjs 2025/9/12 19:20:01
网站建设中网站需求分析报告功能自己理解,烟台门户网站,陕西西安建设厅官方网站,制作一个网站平台需要多少钱目录 前言 一、what is it？ 二、How achieve it？ Ⅰ、结点类 Ⅱ、实现 插入 情况一：叔叔存在且为红色 情况二：叔叔不存在或者叔叔为黑色 旋转 验证 ①验证中序遍历 ②验证是否满足红黑树的性质 Ⅲ、完整实现代码 三、A…

目录

前言

一、what is it？

二、How achieve it？

 Ⅰ、结点类

Ⅱ、实现

插入

情况一：叔叔存在且为红色

 情况二：叔叔不存在或者叔叔为黑色

旋转

验证

 ①验证中序遍历

②验证是否满足红黑树的性质

Ⅲ、完整实现代码

三、AVL compare to Red BlackTree

前言

前面介绍了AVL树，它能够解决因单支树导致性能下降的问题，但是AVL树的旋转有些许的麻烦。当然，能解决因单支树导致性能下降不仅有AVL，还有一种数据结构，那就是下面介绍的红黑树。在实际运用比较多的红黑树！

一、what is it？

Ⅰ、概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但是每个结点都有颜色，要么红色要么黑色。因此称之为红黑树。它是通过对任何一条从根到叶子的路径上结点着色方式的限制，以确保最长路径<=最短路径的2倍，因此能达到接近平衡的效果。

Ⅱ、性质

  •  根节点是黑色
  • 每个结点不是红色就是黑色
  • 一个红色结点，其两个孩子结点必须是黑色(即不能有两个连续的红色结点)
  • 对于每个结点，从该结点到其所有后代结点的路径上，黑色结点的数量必须相同(即每条路径上都存在相同数量的黑色结点)
  • 空结点(NIL)都是黑色的

 问题：红黑树怎么保证结点最长路径<=最短路径*2？

实际上根据性质的第三、四点就可以推出。

因为每条路径上黑色结点数量必须相同，那最短路径必然是全黑结点(极端情况下)，最长路径必然是一黑一红交替（不一定存在）

因此，就能保证最长路径<=最短路径*2！

注意：这里的路径是从根结点到空结点NIL算做一条。

如下：

注意上图不是一棵红黑树，因为不满足每条路径上的黑色结点数量一致这一性质。从根到6的左子树这条路径上的黑色结点数量为1，其他路径都为2！

二、How achieve it？

在给出结点类之前，需要对颜色的存储做一些处理。这里为了代码的可读性，我们对颜色的存储可以采用枚举常量。

//枚举颜色
enum Color
{RED,BLACK
};

 Ⅰ、结点类

这里和AVL类似，就是少了个平衡因子，多了个颜色。

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Color _co;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_co(RED)//构造新结点必须是红色，根结点除外，根节点必须黑{}
};

这里需要注意一个问题：新增结点一定是红色，为何？实际上就是因为第四点性质比第三点性质更加的严格，永远不能动性质四。

  • 若插入黑色结点，那必然违反性质四，即每条路径上的黑色结点数量就不一致了，每条路径都需要调整！
  • 若插入红色结点，那可能违反性质三，若其父亲是黑色，就无需调整；其父亲为红，那就变色，代价较小，所以选择插入红色结点！

注意：根结点一定是黑色的 ！

Ⅱ、实现

插入

步骤：

1.首先依旧按照二叉搜索树的规则插入。小的放在左子树，大的放在右子树

2.检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点默认是红色的，所以：

  • 新节点的父亲颜色如果是黑色，没有违反性质3，无需调整
  • 新节点的父亲颜色如果是红色，那就需要调整，两种情况讨论

 如果新节点的父亲是红色，说明父亲结点不是根结点，那么就存在祖先，父亲的父亲，即爷爷结点，一定是黑的，不能有两个连续的红结点嘛，所以调整的两种情况主要取决于父亲的兄弟结点，即叔叔结点的颜色。

约定：cur为当前结点(一定红)，p为父节点(红)，g为爷爷结点(黑)，u为叔叔结点

情况一：叔叔存在且为红色

 这种情况的解决方案就是：将父亲和叔叔结点变黑，爷爷结点变红

  • 若爷爷是根结点，调整完成后要变回黑色
  • 若爷爷不是根，是子树，那就需要继续向上调整。调整逻辑也是一样父亲为黑或者空就停止，红就调整。

逻辑代码

//向上调整
cur = g;
parent = cur->_parent;

抽象图

形象图(举例)

可以看到，上述抽象图cur为红色并不是因为其本身就是红色，而是因为cur的子树在调整过程中，将cur结点的颜色有黑色变成红色。

注意：对于这种情况，插在左边右边都是一样的！！变色原理一样，比AVL简单！父亲和叔叔位置互换也一样

代码实现十分简单：

Node* u = g->_right;
//情况一:叔叔存在且为红，叔叔和父亲变红，爷爷g变黑
if (u && u->_co == RED)
{parent->_co = u->_co = BLACK;g->_co = RED;//向上调整cur = g;parent = cur->_parent;
}
 情况二：叔叔不存在或者叔叔为黑色

这种情况就需要旋转+变色，旋转的实现和AVL完全类似。变色规则：父亲变黑，爷爷变红温

①不存在

注意：不存在时cur一定是新增，若不是，那cur和p必定有一个黑色结点，这就不满足性质4了！

②存在且为黑

核心逻辑代码：

//    g
//  p   u
// c
//右单旋，p变黑，g变红
if (cur == parent->_left)
{RotaRTree(g);parent->_co = BLACK;g->_co = RED;
}
//    g
//  p   u
//    c
//左右双旋，先左再右。cur就变成了p的父亲
else
{RotaLTree(parent);//左单旋RotaRTree(g);//右单旋cur->_co = BLACK;g->_co = RED;
}

这里旋转代码和AVL树一样，就是将AVL树的平衡因子去掉而已！

插入实现完整代码

	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_co = BLACK;//根结点一定为黑return true;}//找位置插入Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_co = RED;//新增结点一定为红色if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//插入后，开始调色//分情况调色while (parent && parent->_co == RED)//调到黑色或者空就停止{Node* g = parent->_parent;if (parent == g->_left)//父亲在左，叔叔在右{Node* u = g->_right;//情况一:叔叔存在且为红，叔叔和父亲变红，爷爷g变黑if (u && u->_co == RED){parent->_co = u->_co = BLACK;g->_co = RED;//向上调整cur = g;parent = cur->_parent;}else//叔叔不存在或者存在且为黑{//    g//  p   u// c//右单旋，p变黑，g变红if (cur == parent->_left){RotaRTree(g);parent->_co = BLACK;g->_co = RED;}//    g//  p   u//    c//左右双旋，先左再右。cur就变成了p的父亲else{RotaLTree(parent);//左单旋RotaRTree(g);//右单旋cur->_co = BLACK;g->_co = RED;}//不需要再调整，直接结束break;}}else//父亲在右，叔叔在左{Node* u = g->_left;if (u && u->_co == RED)//u存在且为红{parent->_co = u->_co = BLACK;g->_co = RED;cur = g;parent = cur->_parent;}else//叔叔不存在或者为黑{//    g//  u   p//        c//左单旋，p变黑，g变红if (cur == parent->_right){parent->_co = BLACK;g->_co = RED;RotaLTree(g);}//    g//  u   p//    c//右左双旋，先右旋，在左旋else{RotaRTree(parent);//右RotaLTree(g);//左cur->_co = BLACK;g->_co = RED;}break;}}}_root->_co = BLACK;//始终保持根是黑色return true;}

旋转

不管是AVL树还是红黑树，二者需进行旋转形状都是一样，只是规则上的差异而各自进行特殊的处理罢了！

对于红黑树的旋转仅仅只需实现左旋和右旋即可，和AVL代码基本类似，只不过不需要控制平衡因子，情况没有AVL的复杂，十分的简单！这里直接给出实现代码，若有不解可以看看这篇文章AVL旋转！

//右旋
void RotaRTree(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subL;elsepparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}
}
//左旋
void RotaLTree(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subR;elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}
}

验证

 ①验证中序遍历

若中序遍历得到的是一个有序序列，说明为二叉搜索树。

中序遍历和二叉搜索树写法类似

public:void Inoder(){_Inoder(_root);cout << endl;}
private:Node *_root;//私有成员变量void _Inoder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inoder(root->_left);cout << root->kv.first<< " ";_Inoder(root->_right);}
②验证是否满足红黑树的性质

这里的难点是如何验证性质四，即如何判断每条路径上的黑色结点是否一致以及统计黑色结点数量？

统计黑色结点数

思路：实际统计黑色结点数量可以采用dfs，深度优先遍历，设置一个形参变量，一直递归到空结点为止，该形参变量代表的是从根结点到当前结点的路径上的黑色结点数量

判断每条路径上的黑色结点是否一致

思路：可以先去统计任意一条路径上的黑色结点的数量，以该路径黑色结点数量作为基准即可。若统计出有一条路径上黑色结点的数量和基准不 一致，那就出错咯！

实现代码：

	bool IsBalance(){//根为红就错误if (_root->_co == RED){cout << "不符合根结点为黑这一规则" << endl;return false;}//先以一条路径为标志位，每条路径上的黑色结点的数和该标志位相比，不一样就不满足规则四int refnum = 0;//基准位Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_co == BLACK)refnum++;cur = cur->_left;//以最左路径上的黑色结点为基准}return _IsBalance(_root, 0, refnum);}
private:Node* _root = nullptr;bool _IsBalance(Node* root, int curblacknum, const int refnum){if (root == nullptr){if (curblacknum != refnum){cout << "存在黑色结点不同的路径" << endl;return false;}return true;}if (root->_co == RED && root->_parent->_co == RED){cout << "存在连续两个红色结点" << endl;return false;}//碰到黑色结点就++if (root->_co == BLACK){++curblacknum;}return _IsBalance(root->_left, curblacknum, refnum) && _IsBalance(root->_right, curblacknum, refnum);}

Ⅲ、完整实现代码

#include <iostream>
using namespace std;//枚举颜色
enum Color
{RED,BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Color _co;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _co(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_co = BLACK;//根结点一定为黑return true;}//找位置插入Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_co = RED;//新增结点一定为红色if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//插入后，开始调色//分情况调色while (parent && parent->_co == RED)//调到黑色或者空就停止{Node* g = parent->_parent;if (parent == g->_left)//父亲在左，叔叔在右{Node* u = g->_right;//情况一:叔叔存在且为红，叔叔和父亲变红，爷爷g变黑if (u && u->_co == RED){parent->_co = u->_co = BLACK;g->_co = RED;//向上调整cur = g;parent = cur->_parent;}else//叔叔不存在或者存在且为黑{//    g//  p   u// c//右单旋，p变黑，g变红if (cur == parent->_left){RotaRTree(g);parent->_co = BLACK;g->_co = RED;}//    g//  p   u//    c//左右双旋，先左再右。cur就变成了p的父亲else{RotaLTree(parent);//左单旋RotaRTree(g);//右单旋cur->_co = BLACK;g->_co = RED;}//不需要再调整，直接结束break;}}else//父亲在右，叔叔在左{Node* u = g->_left;if (u && u->_co == RED)//u存在且为红{parent->_co = u->_co = BLACK;g->_co = RED;cur = g;parent = cur->_parent;}else//叔叔不存在或者为黑{//    g//  u   p//        c//左单旋，p变黑，g变红if (cur == parent->_right){parent->_co = BLACK;g->_co = RED;RotaLTree(g);}//    g//  u   p//    c//右左双旋，先右旋，在左旋else{RotaRTree(parent);//右RotaLTree(g);//左cur->_co = BLACK;g->_co = RED;}break;}}}_root->_co = BLACK;//始终保持根是黑色return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){//根为红就错误if (_root->_co == RED){cout << "不符合根结点为黑这一规则" << endl;return false;}//先以一条路径为标志位，每条路径上的黑色结点的数和该标志位相比，不一样就不满足规则四int refnum = 0;//基准位Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_co == BLACK)refnum++;cur = cur->_left;}return _IsBalance(_root, 0, refnum);}
private:Node* _root = nullptr;bool _IsBalance(Node* root, int curblacknum, const int refnum){if (root == nullptr){if (curblacknum != refnum){cout << "存在黑色结点不同的路径" << endl;return false;}return true;}if (root->_co == RED && root->_parent->_co == RED){cout << "存在连续两个红色结点" << endl;return false;}if (root->_co == BLACK){++curblacknum;}return _IsBalance(root->_left, curblacknum, refnum) && _IsBalance(root->_right, curblacknum, refnum);}//右旋void RotaRTree(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subL;elsepparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}}//左旋void RotaLTree(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subR;elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}};void TestRBTree()
{RBTree<int, int> r;//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 ,8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto b : a){r.Insert({ b,b });}r.InOrder();if (r.IsBalance()){std::cout << "十分的平衡" << std::endl;}else{std::cout << "歪了" << std::endl;}
}

三、AVL compare to Red BlackTree

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，都能够解决二叉搜索树的单支树的问题，增删改查的时间复杂度都是高度次，即O(logN)，但是二者的控制平衡的规则不同

  • 红黑树只需保证最长路径<=最短路径*2即可
  • AVL要严格控制平衡因子，即左右子树的高度差的绝对值不超过1

相对而言，红黑树降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优 ，而且红黑树实现起来简单，看代码就能看出来了，所以实际中运用红黑树更多！

红黑树一般多用于：

  • C++STL库---map/set，mutil_map/mutil_set的底层实现(后续有文章)
  • Java库
  • Linux内核
  • 其他一些库

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