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可达性统计（拓扑排序模板，bitset）

164. 可达性统计 - AcWing题库

给你一张有向无环图，统计每个点能到达几个点；

一开始想用dfs遍历图查找每个点能通向那些点，但是超时了，所以就就需要用到其他的算法去优化时间了；

紧接着就想到了动态规划，先把每个点能到达的点数存起了，这样上面的点的到达数就是后面的点的到达数的和了！但是现实很骨感，每个点都有可能被多个点到达，多以直接累加的话就会重复计数导致答案错误；

所以我们就需要去重。因此我们也不难得出，每个点能到达的点集就是子节点能到达的点集的并集再加上自己！元就是

f(x)={x}∪(⋃存在有向边(x,y)f(y))f(x)=\{x\}\cup\left(\bigcup_{\text{存在有向边}(x,y)}f(y)\right)f(x)={x}∪(⋃存在有向边(x,y)​f(y))

如果直接用数组去模拟每次求并集的操作每次都要遍历一遍，太慢了。数和数之间的到达情况只分为两种（能到或不能到）所以不难想到利用二进制和位运算去表示，这样每次求并集就是位运算里面的|（按位或）的操作，时间大幅减少！可以利用bitset轻松实现二进制的枚举;

bitset的具体介绍可以看维基，里面很清楚，就是一个二进制的工具；

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拓扑排序（Kahn 算法）

分析完题目，思路已经清晰；但是我们应该从那个点入手作为最基础的集合呢？

不难想到，肯定是最后面的点，也就是没有链接其他点的点，这样他的点集就只有他自己，可以作为dp的初始量！

所以这个就可以用到拓扑排序！

给定一张有向无环图,若一个由图中所有点构成的序列 $A$ 满足：对于图中的每条边$(x,y),x$在$A$中都出现在$y$之前，则称$A$是该有向无环图顶点的一个拓扑序。求解序列$A$的过程就称为拓扑排序。

拓扑排序过程的思想非常简单，我们只需要不断选择图中入度为 0 的节点 $x$,然后把$x$连向的点的入度减 1。我们可以结合广度优先遍历的框架来高效地实现这个过程：

下面介绍一下$\text{ Kahn (卡恩) 算法 }$（利用数组建图时的操作）

$p[x]$ 存点 $x$ 的邻点。$tp$ 存拓扑序列。$rd[x]$ 存点 $x$ 的入度。

算法的核心用队列维护一个入度为 0 的节点的集合。

1. 初始化。队列 $q$ 入压所有入度为 0 的点。
2. 每次从 $q$ 中取出一个点 $x$ 放入数组 $tp$。
3. 然后将 $x$ 的所有邻点删除。若将边 $(x,y)$ 删除后，$y$ 的入度变为 0，则将 $y$ 压入 $q$ 中。
4. 不断重复 2.3 过程，直到队列 $q$ 为空。
5. 若 $tp$ 中的元素个数等于 $n$，则有拓扑序；否则，有环。

void topsort(){queue<int> q;for(int i=1;i<=n;i++)if(rd[i]==0)q.push(i);while(q.size()){int t=q.front();q.pop();tp.push_back(t);for(auto i:p[t]){if(--rd[i]==0)q.push(i);}}
}

最后生成的tp数组中里面的点是无环的！所以通过tp数组的长度可以判断原数组中有无环的出现；

而且他的顺序是线性的！也就是如果两点间有通路，那么一定是前面的数指向后面的数！

这样我们就能按照从后往前去遍历拓扑数组，对状态进行累加了；

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代码分析

解题思路与策略

该问题是在有向无环图（DAG）上计算每个节点可达的节点数量。核心思路是将拓扑排序与bitset位压缩技术结合，实现高效的可达性统计。

关键步骤

1. 拓扑排序：

   • 初始化队列，将所有入度为0的节点入队
   • 每次取出队首节点加入拓扑序列，并更新其后继节点的入度
   • 当后继节点入度降为0时将其入队
   • 最终得到拓扑排序的序列tp

2. 逆序DP计算可达集合：

   • 关键点：按拓扑序列的逆序处理节点（从后往前）

   • 初始化：当前节点可达自身dp[u][u]=1

   • 状态转移：对于每个节点u，将其所有后继节点的可达集合进行"或"操作：

     dp[u] |= dp[v] v是u的直接后继

   • 逆序处理保证：计算节点u时，其后继节点v都已被计算过

3. 结果输出：

   • 每个节点的dp值是一个bitset，其count()即为可达节点数

   • bitset的大小设为30005（题目数据范围n≤30000）

注意要点

1. bitset大小设置：

   bitset<30005> dp[N] 必须严格大于最大n值,且<>里面不能是变量

2. 拓扑逆序处理：

   for(int i=n-1;i>=0;i--){  // 逆序遍历拓扑序列int t=tp[i];          // 从后往前处理节点
   }
   

3. 自环处理：

   dp[t][t/] = 1 初始化：每个节点可达自身

整体代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
const int N=3e5+5;
int n,m;
vector <int> p[N],tp,rd(N);
bitset<30005> dp[N];
void topsort(){queue<int> q;for(int i=1;i<=n;i++)if(rd[i]==0)q.push(i);while(q.size()){int t=q.front();q.pop();tp.push_back(t);for(auto i:p[t]){if(--rd[i]==0)q.push(i);}}
}
void slove(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;cin>>x>>y;rd[y]++;p[x].push_back(y);}topsort();for(int i=n-1;i>=0;i--){int t=tp[i];dp[t][t]=1;for(auto j:p[t])dp[t]|=dp[j];}for(int i=1;i<=n;i++)cout<<dp[i].count()<<endl;
} 
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int _=1;//cin>>_;while(_--)slove();return 0;
}

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