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K-means

1. 算法介绍

• 背景与目标
  K-means 是最经典、最常用的原型聚类（prototype-based clustering）算法之一，由 Stuart Lloyd 于1957年提出，1982年被广泛推广。其核心目标是：

  将给定的 $n$ 个数据点划分为 $K$ 个簇，使得簇内样本的相似度（通常用欧氏距离）最大化、簇间差异最大化。

• 应用场景

  • 客户分群、市场细分
  • 图像分割（基于像素特征）
  • 文档聚类（基于文本向量）
  • 低维数据的快速可视化与预处理

• 核心思路

  1. 初始化：在数据空间中随机选取 $K$ 个点作为初始簇心（centroid），或使用 k-means++ 改进；

  2. 迭代优化：

     • 分配（Assignment）：将每个样本指派给最近的簇心；
     • 更新（Update）：根据新的簇内样本重新计算簇心；

  3. 收敛判定：当簇心位置不再发生显著变化，或达到最大迭代次数时停止。

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2. 公式及原理

2.1 目标函数
K-means 旨在最小化簇内平方误差之和（Within-Cluster Sum of Squares, WCSS）：

$$J=\sum _{j=1}^K\sum _{{\mathbf{x}}_i\in C_j}\Vert {\mathbf{x}}_i$$