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P2196 [NOIP 1996 提高组] 挖地雷 - 洛谷

题目描述

在一个地图上有N（N ≤ 20）个地窖，每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径。当地窖及其连接的数据给出之后，某人可以从任一处开始挖地雷，然后可以沿着指出的连接往下挖(仅能选择一条路径)，当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。

输入格式

有若干行。

• 第1行只有一个数字，表示地窖的个数N。
• 第2行有N个数，分别表示每个地窖中的地雷个数。
• 第3至第N + 1行表示地窖之间的连接情况：
  • 第3行有n - 1个数（0或1），表示第一个地窖至第2个、第3个…第n个地窖有否路径连接。如第3行为11000…0，则表示第1个地窖至第2个地窖有路径，至第3个地窖有路径，至第4个地窖、第5个…第n个地窖没有路径。
  • 第4行有n - 2个数，表示第二个地窖至第3个、第4个…第n个地窖有否路径连接。
  • ……
  • 第n + 1行行1个数，表示第n - 1个地窖至第n个地窖至第n个地窖有否路径连接。(为0表示没有路径，为1表示有路径)

输出格式

• 第一行表示挖得最多地雷时的挖地雷的顺序，各地窑序号间以一个空格分隔，不得有多余的空格。
• 第二行只有一个数，表示能挖到的最多地雷数。

输入输出样例

输入 #1	输出 #1
5 10 8 4 7 6 1 1 0 0 0 1 1 1	1 3 4 5 27

说明/提示

【题目来源】
NOIP 1996 提高组第三题

思路：

状态定义

设 dp[i] 表示以 节点 i 为终点 的路径能挖到的最大地雷数。

• 对于节点 i，其路径可以是：
  • 单独以 i 为起点，此时地雷数为 cnt[i]；
  • 从某个前驱节点 j（j < i 且 attached[j][i] = 1）出发，经过路径 j→i，此时地雷数为 dp[j] + cnt[i]。

状态转移方程

代码:

记忆化搜索:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt[35], mem[35], pre[35];  // mem 存储记忆化结果，pre 记录前驱
int attached[35][35];// 记忆化搜索函数：返回以 x 为终点的最大地雷数
int dfs(int x) 
{if (mem[x] != -1) return mem[x];  mem[x] = cnt[x];  // 初始值：至少包含自己的地雷数for (int j = 1; j < x; j++) // 遍历所有前驱节点（j < x） {     if (attached[j][x]) // 存在 j->x 的路径 {        int current = dfs(j) + cnt[x];  // 计算从 j 到 x 的总地雷数if (current > mem[x])  // 更新最大值和前驱 {  mem[x] = current;pre[x] = j;}}}return mem[x];
}
void print(int x) 
{if (pre[x] != 0) print(pre[x]);  cout << x << " ";
}
int main() 
{int n;cin >> n;memset(mem, -1, sizeof(mem));for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> cnt[i];pre[i] = 0;}for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {int temp;cin >> temp;attached[i][j] = temp;}}int max_val = -1, end_node = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {int current = dfs(i);  // 计算以 i 为终点的最大地雷数if (current > max_val) {max_val = current;end_node = i;}}print(end_node);cout << endl << max_val << endl;return 0;
}

dp:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt[30],dp[30],pre[30];//设 dp[i] 表示以 节点 i 为终点 的路径能挖到的最大地雷数。pre[30]记录前驱结点 
int attached[30][30];
void dfs(int x)
{if(pre[x] != 0)dfs(pre[x]);cout << x << " ";//可以输出最后一个元素 
}
int main(void)
{int n;cin >> n;for(int i = 1 ; i <= n ; i++){cin >> cnt[i];pre[i] = 0;//初始化前驱节点 }for(int i = 1 ; i <= n-1; i++){for(int j = i + 1 ; j <= n ; j++){int temp;cin >> temp;attached[i][j] = temp;}}for(int i = 1 ; i <= n ; i++)dp[i] = cnt[i];for(int i = 1 ; i <= n ; i++){for(int j = 1 ; j < i ; j++){if(attached[j][i]){if(dp[j] + cnt[i] > dp[i]){dp[i] = dp[j] + cnt[i];pre[i] = j;	}	}	}	}int max_val = -1, end_node = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {if(dp[i] > max_val) {max_val = dp[i];end_node = i;}}dfs(end_node);cout << endl;cout << max_val << endl;return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt[30],dp[30],pre[30];//设 dp[i] 表示以 节点 i 为终点 的路径能挖到的最大地雷数。pre[30]记录前驱结点 
int attached[30][30];
void dfs(int x)
{if(pre[x] == 0){cout << x << " ";return;}dfs(pre[x]);cout << x << " ";
}
int main(void)
{int n;cin >> n;for(int i = 1 ; i <= n ; i++){cin >> cnt[i];pre[i] = 0;//初始化前驱节点 }for(int i = 1 ; i <= n-1; i++){for(int j = i + 1 ; j <= n ; j++){int temp;cin >> temp;attached[i][j] = temp;}}for(int i = 1 ; i <= n ; i++)dp[i] = cnt[i];for(int i = 1 ; i <= n ; i++){for(int j = 1 ; j < i ; j++){if(attached[j][i]){if(dp[j] + cnt[i] > dp[i]){dp[i] = dp[j] + cnt[i];pre[i] = j;	}	}	}	}int max_val = -1, end_node = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {if(dp[i] > max_val) {max_val = dp[i];end_node = i;}}dfs(end_node);cout << endl;cout << max_val << endl;return 0;
}