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wzjs 2025/9/12 8:09:25

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引言

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种强大的监督学习算法，主要用于分类和回归任务。其核心思想是找到一个最优的决策边界（超平面），最大化不同类别之间的间隔（Margin）。SVM 在小样本、高维数据和非线性问题中表现优异，广泛应用于图像识别、文本分类、生物信息学等领域。

1. SVM 核心思想

(1) 线性可分情况

目标：找到一个超平面 ( \mathbf{w}^T \mathbf{x} + b = 0 )，将两类数据分开。
间隔（Margin）：离超平面最近的样本点到超平面的距离。SVM 的目标是最大化间隔。
支持向量：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置。

数学形式：
在这里插入图片描述

(2) 非线性可分情况

当数据线性不可分时，SVM 通过**核技巧（Kernel Trick）**将数据映射到高维空间，使其线性可分。
常用核函数：

2. SVM 的优化问题

在这里插入图片描述

3. SVM 的分类与回归

(1) 分类（SVC）

二分类：直接使用超平面划分两类。
多分类：通过“一对多”（One-vs-Rest）或“一对一”（One-vs-One）策略扩展。

(2) 回归（SVR）

目标：拟合一个“间隔带”（( \epsilon )-insensitive tube），最大化间隔的同时容忍一定误差。
优化问题类似分类，但约束条件不同：

4. SVM 的优缺点

优点

在高维空间中表现优秀（适合文本、图像数据）。
核技巧可处理非线性问题。
泛化能力强，尤其适合小样本数据。

缺点

计算复杂度高，训练时间随数据量增长（适合小到中等数据集）。
对参数（如 ( C )、核函数）敏感，需调参。
难以直接解释模型（黑盒性较强）。

5. 代码示例（Scikit-Learn）

(1) 线性 SVM 分类

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import make_classification# 生成数据
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, random_state=42)# 训练模型
model = SVC(kernel='linear', C=1.0)
model.fit(X, y)# 预测
print(model.predict([[0.5, -0.5]]))  # 输出类别

(2) 非线性 SVM（RBF 核）

from sklearn.svm import SVC# 使用高斯核（RBF）
model = SVC(kernel='rbf', gamma=0.1, C=1.0)
model.fit(X, y)

(3) SVM 回归（SVR）

from sklearn.svm import SVR# 训练回归模型
model = SVR(kernel='rbf', C=1.0, epsilon=0.1)
model.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

6. 关键参数调优

参数	作用	推荐调整范围
`C`	控制分类错误的惩罚（越大越严格）	( 10^{-3} ) 到 ( 10^3 )
`kernel`	核函数类型（`linear`, `rbf`, `poly`, `sigmoid`）	根据数据非线性程度选择
`gamma`	RBF/多项式核的系数（越大模型越复杂）	( 10^{-3} ) 到 ( 10^3 )
`epsilon`	SVR 的间隔带宽度（允许的误差范围）	0.1 到 1.0