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动态规划中的自顶向下与自底向上
一、动态规划的概念
动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解为更小的子问题，通过解决这些子问题并存储其解，避免重复计算，从而高效地解决原问题。动态规划的核心思想是利用重叠子问题（overlapping subproblems）和最优子结构（optimal substructure）的性质。
二、自顶向下的概念
2.1 自顶向下的思考流程方式
自顶向下是一种递归的思考方式，从问题的最终目标出发，逐步分解为更小的子问题。在动态规划中，自顶向下通常结合记忆化技术（Memoization）来存储已解决的子问题，避免重复计算。
具体步骤：
- 定义问题的递归关系，明确如何将原问题分解为子问题。
- 使用递归函数实现，每次递归调用解决一个更小的子问题。
- 引入记忆化机制（如字典或数组），存储已解决的子问题的解，防止重复计算。
2.2 如何确定递归边界
递归边界是动态规划自顶向下方法中的关键部分。通常，我们需要考虑以下因素来确定递归终止条件：
- 问题的最小规模：如果问题规模已经不可再分（如
n = 0或n = 1），则可以直接返回结果。 - 子问题的已知解：如果某些情况的结果已知，可以作为递归边界，例如斐波那契数列中的
F(0) = 0和F(1) = 1。 - 避免无限递归：确保递归在每次调用时都朝着终止条件收敛，否则可能会导致无限递归。
2.3 结合 LeetCode 例题来讲解示范
例题：和为 n 的完全平方数的最少数量（Perfect Squares）
给定整数 n，返回和为 n 的完全平方数（如 1, 4, 9, 16,...）的最少数量。
代码分析：递归 + 记忆化搜索（@cache）求最少完全平方数
算法思路
这段代码使用 递归 + 记忆化搜索（Memoization）来解决最少完全平方数求和问题。
其核心思想是：
- 使用
dp(i, j)表示：- 在
1到i之间选择完全平方数，使得它们的和等于j，所需的最小数量。
- 在
- 递归状态转移方程：
dp(i, j) = dp(i-1, j)：不使用i^2这个完全平方数的情况。dp(i, j) = dp(i, j - i^2) + 1：使用i^2这个完全平方数，并减少目标和j。- 取两者的最小值，即
dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i, j - i^2) + 1)。
代码
from functools import cache
from math import isqrtdef numSquares(n):@cachedef dp(i, j):if i == 1:return j # 只能用 1^2 拼出 j，则需要 j 个 1if i**2 > j:return dp(i-1, j) # i^2 超过 j，不能使用它，只能使用更小的数return min(dp(i-1, j), dp(i, j - i**2) + 1) # 选择是否使用 i^2return dp(isqrt(n), n) # 从 sqrt(n) 开始递归
三、自底向上的概念
3.1 自底向上的思考流程方式
自底向上是一种迭代的思考方式，从最简单的子问题开始，逐步构建解决方案，直到解决原问题。在动态规划中，自底向上通常使用动态规划表（Dynamic Programming Table）来存储子问题的解。
具体步骤：
- 定义动态规划表的结构，确定如何存储子问题的解。
- 初始化动态规划表的初始值，通常是最简单的子问题的解。
- 使用循环逐步构建更大的解，直到解决原问题。
3.2 结合 LeetCode 例题来讲解示范
例题：和为 n 的完全平方数的最少数量
算法思路
这段代码使用 动态规划 来解决最少数量的完全平方数求和问题。核心思想是：
- 状态定义：
- 设
dp[i]表示和为 ( i ) 的最少完全平方数的数量。
- 设
- 状态转移方程：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)，其中 ( j^2 ) 是不超过 ( i ) 的某个完全平方数。- 通过遍历所有可能的完全平方数 ( j^2 )（( j \leq \sqrt{i} )），找到能得到最少数量的组合。
- 初始化：
dp[0] = 0，因为和为 0 时不需要任何数。- 其他
dp[i]初始设为无穷大 (float('inf'))，表示尚未计算。
- 遍历顺序：
i从1到n遍历，计算dp[i]。j从1到sqrt(i)遍历，尝试所有可能的完全平方数j * j，并更新dp[i]。
自底向上解决方案：
import mathdef numSquares(n):dp = [float('inf')] * (n + 1)dp[0] = 0for i in range(1, n + 1):for j in range(1, int(math.sqrt(i)) + 1):dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)return dp[n]
分析：
- 动态规划表：使用数组
dp存储每个斐波那契数的值。 - 初始化：
dp[0] = 0，dp[1] = 1。 - 迭代构建：通过循环从
i=2到i=n计算每个dp[i]。
四、两者的对比，如何判断何时使用哪种方式
| 特性 | 自顶向下（Top-Down） | 自底向上（Bottom-Up） |
|---|---|---|
| 实现方式 | 递归调用 | 迭代实现 |
| 子问题存储 | 使用记忆化技术存储已解决的子问题 | 使用动态规划表存储子问题的解 |
| 问题分解 | 从最终目标分解为子问题 | 从最简单的子问题逐步构建解决方案 |
| 适用场景 | 适用于问题可以自然分解为子问题的情况 | 适用于子问题之间存在重叠且需要逐步构建的情况 |
| 时间复杂度 | 可能较高，但可以通过记忆化优化 | 通常较低，因为避免了递归调用的开销 |
| 空间复杂度 | 可能较高，因为需要存储递归调用栈和记忆化表 | 通常较低，因为只需要存储动态规划表 |
如何选择
- 问题分解的自然性：如果问题可以自然地分解为子问题，且递归关系明确，自顶向下可能更直观。
- 性能要求：如果对性能要求较高，且递归调用的开销不可接受，自底向上可能更合适。
- 空间限制：如果内存空间有限，自底向上通常更节省空间，因为它不需要递归调用栈。