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前言

本文简单介绍了三种常用坐标系，直角坐标系（笛卡尔坐标系）、圆柱坐标系、球坐标系。

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一、直角坐标系（笛卡尔坐标系）

1.1定义

定义：由三个相互垂直的**坐标轴（𝑥,𝑦,𝑧）**构成，空间中任一点的位置用 (𝑥,𝑦,𝑧) 表示。

1.2单位矢量

单位矢量：固定不变，𝑒𝑥,𝑒𝑦,𝑒𝑧分别沿坐标轴方向。

1.3适用场景

适用场景：具有直线对称性或边界为平面（如长方体、平板）的问题。

1.4数学工具

1. 拉普拉斯方程
2. 分离变量法结合傅里叶级数求解

1.5应用实例

1.5.1平行板电容器

平行板电容器：电场均匀，沿 𝑧方向，电势线性变化。

1.5.2矩形波导

矩形波导：分析电磁波传播模式（如TE/TM模），场分量沿 𝑥,𝑦分布。

1.5.3微带线设计

微带线设计：电场和磁场分布在平面结构中，直角坐标系便于建模。

二、圆柱坐标系

2.1定义

定义：由径向距离 𝜌****方位角 𝜙和高度 𝑧构成，空间中任一点的位置用 (𝜌,𝜙,𝑧)表示。

2.2单位矢量

单位矢量：𝑒𝜌,𝑒𝜙随位置变化，𝑒𝑧固定。

2.3适用场景

适用场景：具有轴对称性或圆形边界的问题。

2.4数学工具

1. 拉普拉斯方程。
2. 贝塞尔函数用于分离变量求解。

2.5应用示例

2.5.1无限长直导线磁场

无限长直导线磁场：安培环路定律给出 𝐵𝜙=𝜇𝐼/2𝜋𝜌。

2.5.2同轴电缆

同轴电缆：电场沿 𝜌 方向分布，适用于TEM波传输。

2.5.3光纤中的模式分析

光纤中的模式分析：利用贝塞尔函数描述光场的径向分布。

三、球坐标系

3.1定义

定义：由径向距离 𝑟，极角 𝜃（与 𝑧轴夹角）和方位角 𝜙构成，空间中任一点的位置用 (𝑟,𝜃,𝜙)表示。

3.2单位矢量

单位矢量：𝑒𝑟,𝑒𝜃,𝑒𝜙均随位置变化。

3.3适用场景

适用场景：具有球对称性或点源辐射的问题。

3.4数学工具

1. 拉普拉斯方程
2. 勒让德多项式展开求解电势。

3.5应用实例

3.5.1点电荷电场

点电荷电场：库仑定律 𝐸𝑟=𝑄/4𝜋𝜖𝑟2 ，电势仅依赖 𝑟。

3.5.2偶极子天线

偶极子天线：辐射场方向图用 𝑟,𝜃,𝜙描述，涉及角分布。

3.5.3地球磁场模型

地球磁场模型：近似为磁偶极子场，依赖极角 𝜃。

四、坐标系选择原则

4.1对称性匹配

对称性匹配：优先选择与问题几何形状一致的坐标系（如球对称用球坐标）。

4.2简化计算

简化计算：减少变量耦合，例如轴对称问题用圆柱坐标系可分离变量。

4.3物理直观性

物理直观性：场的方向与单位矢量一致（如圆柱坐标中磁场仅有 𝜙分量）。

五、总结

5.1直角坐标系

直角坐标系：平面边界或直线对称性问题（如波导、电容器）。

5.2圆柱坐标系

圆柱坐标系：轴对称或环形结构问题（如电缆、旋转机械场分析）。

5.3球坐标系

球坐标系：点源、球体或辐射问题（如天线、带电球体）。

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