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深度学习中 GAN 的对抗目标函数详解与最优解推导

生成对抗网络（GAN）是深度生成模型中的经典方法，其核心思想是两个网络之间的博弈：生成器 $G$ 试图“伪造”样本，而判别器 $D$ 尽力分辨真伪。本篇博客将从 GAN 的基本目标函数出发，逐步推导出判别器的最优形式，并分析其背后的数学含义。

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一、GAN 的基本对抗目标函数

GAN 的原始目标是一个 min-max 游戏：

$$\underset{G}{\min }\underset{D}{\max }\left({\mathbb{E}}_{x\sim P_r}[\log D(x)]+{\mathbb{E}}_{z\sim P_z}[\log (1-D(G(z)))]\right)$$

其中：

• $P_r(x)$ 表示真实数据的分布；
• $P_z(z)$ 是先验噪声分布（如高斯）；
• $G(z)$ 是生成器生成的假样本；
• $D(x)$ 是判别器输出 $x$ 为真实样本的概率。

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二、判别器与生成器的博弈目标

• 判别器 D 的目标：让 $D(x)$ 趋近于 1，$D(G(z))$ 趋近于 0，即正确分辨真实与生成样本。

  对应目标函数为最大化：

  $${\mathbb{E}}_{x\sim P_r}[\log D(x)]+{\mathbb{E}}_{z\sim P_z}[\log (1-D(G(z)))]$$

• 生成器 G 的目标：生成样本让 $D(G(z))$ 尽量大，即“骗过”判别器。

  对应目标函数为最小化：

  $${\mathbb{E}}_{z\sim P_z}[\log (1-D(G(z)))]$$

这是一个典型的零和对抗过程。

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三、判别器的最优解推导

我们接下来推导：在固定生成器 $G$ 的前提下，判别器 $D$ 的最优形式是怎样的？

令目标函数为：

$$V(D)={\int }_x{P}_r(x)\log D(x)+P_g(x)\log (1-D(x))dx$$

对每个 $x$，令：

$$f(D(x))=P_r(x)\log D(x)+P_g(x)\log (1-D(x))$$

对 $D(x)$ 求导并令导数为 0：

$$\frac{df}{dD(x)}=\frac{P_r(x)}{D(x)}-\frac{P_g(x)}{1-D(x)}=0$$

解得最优判别器为：

$$D^{\ast }(x)=\frac{P_r(x)}{P_r(x)+P_g(x)}$$

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四、最优判别器的含义

1. $D^{\ast }(x)$ 的输出值反映了 样本 $x$ 来自真实分布的概率。

   • 如果 $P_r(x)=P_g(x)$，则 $D^{\ast }(x)=\frac{1}{2}$；
   • 如果 $P_r(x)\gg P_g(x)$，则 $D^{\ast }(x)\approx 1$；
   • 如果 $P_g(x)\gg P_r(x)$，则 $D^{\ast }(x)\approx 0$。

2. 将 $D^{\ast }$ 代入 GAN 原始目标函数：

   $$V(D^{\ast })={\mathbb{E}}_{x\sim P_r}[\log D^{\ast }(x)]+{\mathbb{E}}_{x\sim P_g}[\log (1-D^{\ast }(x))]$$

   可推导出最终目标：

   $$\underset{G}{\min }V(D^{\ast })=-\log 4+2\cdot \text{JS}(P_r\parallel P_g)$$

   即：GAN 实质上是在最小化真实分布 $P_r$ 与生成分布 $P_g$ 之间的 Jensen-Shannon 散度。

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五、总结

内容	含义
$D^{\ast }(x)=\frac{P_r(x)}{P_r(x)+P_g(x)}$	判别器在每个样本点处的最优输出
GAN 的优化目标	最小化 JS 散度
最优时的结果	当 $P_r=P_g$ 时，GAN 达到最优，$D(x)=0.5$，分不出真假

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六、WGAN 的动机（为后续铺垫）

由于 Jensen-Shannon 散度在 $P_r$ 与 $P_g$ 没有交集时不连续（导致梯度消失），Wasserstein GAN（WGAN）改用 Wasserstein 距离替代 JS 散度，并要求判别器满足 1-Lipschitz 条件，这会在后续单独展开讲解。