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目录
一、信源编码基本概念
1. 定义与目的
2. 编码示例
3. 编码分类
4. 唯一可译码的判断标准
5. 编码评价指标
二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）
1. 核心内容
2. 关键概念与指标
3. 数据压缩的本质
4. 例子与启示
5. 定理的意义
一、信源编码基本概念
信源编码的核心：通过去除冗余（相关性或非均匀分布）提高传输效率。
1. 定义与目的
- 定义：将信源输出的符号（如文字、数字、图像等）转换为适合信道传输的信号（如二进制码、电脉冲等）。
- 目的：
- 能够传输：匹配信源与信道的特性，确保接收端能正确译码。
- 有效传输：减少冗余信息，提高传输效率（用更少的码元表示信源符号）。
2. 编码示例
- Morse码：用“点（·）”和“划（—）”的组合表示字母（如A=·—，B=—···）。
- 汉字电码：每个汉字用4位阿拉伯数字编码（如“中”=0022）。
- ASCII码：用7位或8位二进制数表示字符（如A=01000001）。
3. 编码分类
| 分类依据 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| 编码范围 | 基本源编码 | 对单个符号编码（如字母A→01）。 |
| 扩展源编码 | 对符号序列编码（如单词“ABC”→001011）。 | |
| 信息是否损失 | 无失真编码 | 完全保留信息（如Huffman码），满足I(X;Y)=H(X)。 |
| 有失真编码 | 允许部分信息损失（如JPEG压缩），满足I(X;Y)<H(X)。 | |
| 译码唯一性 | 唯一可译码 | 任意码字序列只能唯一译码（如前缀码）。 |
| 非唯一可译码 | 存在歧义（如编码{0, 01}，序列“01”可译作“01”或“0”+“1”）。 | |
| 码长是否固定 | 定长编码 | 所有码字长度相同（如ASCII码）。 |
| 变长编码 | 码长可变（如Huffman码，高频符号用短码）。 |
4. 唯一可译码的判断标准
- 等长码：若为非奇异码（所有码字互不相同），则唯一可译。
- 变长码：若为前缀码（无码字是其他码字的前缀），则唯一可译。
- 不是前缀码也可能唯一可译：{0, 01} 不是前缀码（“0”是“01”的前缀），译码时也不会歧义（每次出现1都表示一次01）。
5. 编码评价指标
- 平均码长 L：
，其中
为码字长度。
- 编码效率 η：
，越接近1效率越高（r 为码元符号数，如二进制时 r=2）。
二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）
香农第一定理揭示了信源编码的极限效率，为无损压缩提供了理论基础。通过扩展信源和变长编码，使平均码长逼近 logrH(S)。ZIP、PNG等无损压缩算法均基于此原理。
1. 核心内容
研究对象：离散无记忆信源（DMS）的N次扩展信源 。
定理表述：对 进行变长编码，平均码长
满足：
其中：
- H(S)：信源的熵（单位：比特/符号）。
- r：码元符号数（如二进制时 r=2）。
：平均每信源符号分配的码元数。
物理意义：
- 下限：无失真压缩的极限为
，无法突破。
- 逼近极限：通过扩展信源（增大 N）和变长编码，可使平均码长无限接近熵限。
2. 关键概念与指标
-
平均码长
- 衡量编码效率的核心指标，越小越好。
- 对于定长编码，
-
信息传输率 R：
- 定义：单位码元携带的信息量（单位：比特/码元）。
- 计算公式：
- 基本源编码：
。
- 扩展源编码：
。
- 基本源编码：
-
编码效率 η：
- 定义：实际信息传输率与理论最大值的比值。
- 公式：
- 理想情况：η→1（平均码长逼近熵限）。
3. 数据压缩的本质
- 有记忆信源：冗余源于符号间的相关性，通过预测编码、变换编码去除。
- 无记忆信源：冗余源于符号概率的非均匀分布，通过统计编码（如Huffman）逼近熵限。
压缩途径：
- 扩展信源：增大 N 以减少统计波动（如对字母序列而非单个字母编码）。
- 变长编码：高频符号用短码，低频符号用长码（如Huffman码）。
4. 例子与启示
示例：二元信源 S={x1,x2}，概率 P(x1)=0.9，P(x2)=0.1。
- 熵：
比特/符号。
- 二进制编码下限：
码元/符号。
1. 单符号编码（N=1）
- 编码方式：直接对每个符号独立编码
- 示例：x₁→0，x₂→1
平均码长计算： L = 1×P(x₁) + 1×P(x₂) = 0.9×1 + 0.1×1 = 1 码元/符号
编码效率： η = H(S)/L = 0.469/1 = 46.9%
2. 扩展信源编码（N=2）
-
编码对象：符号对（共4种组合）
- 概率分布：
符号对 概率 x₁x₁ 0.81 x₁x₂ 0.09 x₂x₁ 0.09 x₂x₂ 0.01
- 概率分布：
Huffman编码示例：
x₁x₁ → 0 (码长1)x₁x₂ → 10 (码长2) x₂x₁ → 110 (码长3)x₂x₂ → 111 (码长3)
平均码长计算：L₂ = 0.81×1 + 0.09×2 + 0.09×3 + 0.01×3 = 1.29 码元/2符号
→ L = 1.29/2 ≈ 0.645 码元/符号
效率提升：η = 0.469/0.645 ≈ 72.7%
3. 极限情况（N→∞）
理论结果：当 N→∞ 时，L → H(S) = 0.469 码元/符号，η → 100%
5. 定理的意义
- 理论极限：给出了无失真压缩的最低码率（熵限）。
- 编码指导：
- 必须采用变长编码和扩展信源才能高效逼近极限。
- 实际编码（如Huffman）是定理的工程实现。
- 推广性：可扩展至平稳有记忆信源（极限熵 H∞ 替代 H(S)）。