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本篇主题：算法思想之分治-快排
发布时间：2025.4.15
隶属专栏：算法

算法介绍

快速排序（Quick Sort）是一种基于分治思想的高效排序算法，由 Tony Hoare 在 1960 年提出。其核心思想是通过“分区操作”将数组拆分为独立的两部分或者三部分，再递归处理子数组，最终完成整体排序。

核心步骤

1. 选择基准（Pivot）
   从待排序数组中选择一个元素作为基准（通常选首/尾/中间元素或随机选择）。
2. 分区（Partitioning）
   将数组重新排列，使得所有小于基准的元素位于其左侧，大于基准的位于右侧，基准到达最终正确位置。
3. 递归排序
   对基准左侧和右侧的子数组递归执行上述操作。

优化策略

1. 随机化基准选择
   避免最坏情况，提升鲁棒性。
2. 三数取中法（Median-of-Three）
   选择首、中、尾三元素的中位数作为基准，减少不平衡分区。
3. 小数组切换插入排序
   当子数组长度较小时（如 ≤ 15），使用插入排序更高效。

例题

颜色分类

题目链接

75. 颜色分类

题目描述

给定一个包含红色、白色和蓝色、共 n 个元素的数组 nums ，原地 对它们进行排序，使得相同颜色的元素相邻，并按照红色、白色、蓝色顺序排列。

我们使用整数 0、 1 和 2 分别表示红色、白色和蓝色。

必须在不使用库内置的 sort 函数的情况下解决这个问题。

示例 1：

输入：nums = [2,0,2,1,1,0]
输出：[0,0,1,1,2,2]

示例 2：

输入：nums = [2,0,1]
输出：[0,1,2]

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 300
>- nums[i] 为 0、1 或 2
  进阶：
  你能想出一个仅使用常数空间的一趟扫描算法吗？

算法思路

类比数组分两块的算法思想，这里是将数组分成三块，那么我们可以再添加一个指针，实现数组分三块。
设数组大小为 n ，定义三个指针 left, cur, right :

• left ：用来标记 0 序列的末尾，因此初始化为 -1 ；
• cur ：用来扫描数组，初始化为 0 ；
• right ：用来标记 2 序列的起始位置，因此初始化为 n 。

在 cur 往后扫描的过程中，保证：

• [0, left] 内的元素都是 0 ；
• [left + 1, cur - 1] 内的元素都是 1 ；
• [cur, right - 1] 内的元素是待定元素；
• [right, n] 内的元素都是 2 。

代码实现

class Solution {
public:void sortColors(vector<int>& nums) {int left = -1, i = 0, right = nums.size();while(i < right){if(nums[i] < 1)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == 1)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}}
};

排序数组

题目链接

912. 排序数组

题目描述

给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为 O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。

示例 1：

输入：nums = [5,2,3,1]
输出：[1,2,3,5]

示例 2：

输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]

提示：

• 1 <= nums.length <= 5 * 104
• -5 * 104 <= nums[i] <= 5 * 104

算法思路

我们在数据结构阶段学习的快速排序的思想可以知道，快排最核心的一步就是 Partition (分割数据)：将数据按照一个标准，分成左右两部分。

如果我们使用荷兰国旗问题的思想，将数组划分为 左 中 右 三部分：

左边是比基准元素小的数据，中间是与基准元素相同的数据，右边是比基准元素大的数据。然后再去递归的排序左边部分和右边部分即可（可以舍去大量的中间部分）。

在处理数据量有很多重复的情况下，效率会大大提升。

代码实现

class Solution {
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand(time(nullptr));// 种下随机数种子qsort(nums, 0, nums.size()-1);return nums;}void qsort(vector<int> &nums, int l, int r){if(l >= r)return ;int key = GetRandom(nums, l, r);int left = l-1, i = l, right = r+1;while(i < right){if(nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key)i++;elseswap(nums[--right],nums[i]);}qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}int GetRandom(vector<int> &nums, int l, int r){int i = rand();return nums[i%(r-l+1) + l];}
};

数组中的第K个最大元素

题目链接

215. 数组中的第K个最大元素

题目描述

给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。

请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(n) 的算法解决此问题。

示例 1:

输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5

示例 2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4

提示：

• 1 <= k <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

算法思路

在快排中，当我们把数组分成三块之后： [l, left] [left + 1, right - 1] [right, r] ，我们可以通过计算每一个区间内元素的个数，进而推断出我们要找的元素是在哪一个区间里面。

那么我们可以直接去相应的区间去寻找最终结果就好了。

代码实现

class Solution {
public:int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {srand(time(nullptr));return qsort(nums, 0, nums.size()-1, k);}int qsort(vector<int> &nums, int l, int r, int k){if(l == r)return nums[l];int key = GetRandom(nums, l, r);int left = l-1, i = l, right = r+1;while(i < right){if(nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key)i++;else    swap(nums[--right], nums[i]);}if(r-right+1  >= k)return qsort(nums, right, r, k);else if(r-left >= k)return key; else return qsort(nums, l, left, k-(r-left));}int GetRandom(vector<int>nums, int l, int r){int i = rand();return nums[i%(r-l+1) + l];}
};

库存管理 III

题目链接

LCR 159. 库存管理 III

题目描述

仓库管理员以数组 stock 形式记录商品库存表，其中 stock[i] 表示对应商品库存余量。请返回库存余量最少的 cnt 个商品余量，返回 顺序不限。

示例 1：

输入：stock = [2,5,7,4], cnt = 1
输出：[2]

示例 2：

输入：stock = [0,2,3,6], cnt = 2
输出：[0,2] 或 [2,0]
提示：

• 0 <= cnt <= stock.length <= 10000
• 0 <= stock[i] <= 10000

算法思路

在快排中，当我们把数组分成三块之后： [l, left] [left + 1, right - 1] [right, r] ，我们可以通过计算每一个区间内元素的个数，进而推断出我们要找的元素是在哪一个区间里面。

那么我们可以直接去相应的区间去寻找最终结果就好了。

代码实现

class Solution {
public:vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt) {srand(time(nullptr));qsort(stock, 0, stock.size()-1, cnt);return {stock.begin(), stock.begin()+cnt};}void qsort(vector<int> &nums, int l, int r, int k){if(l >= r)return ;int key = GetRandom(nums, l, r);int left = l-1, i = l, right = r+1;while(i < right){if(nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key)i++;else    swap(nums[--right], nums[i]);}if(left-l+1  > k)qsort(nums, l, left, k);else if(right-l >= k)return ; else qsort(nums, right, r, k-(right-l));}int GetRandom(vector<int>nums, int l, int r){int i = rand();return nums[i%(r-l+1) + l];}
};

⚠️ 写在最后：以上内容是我在学习以后得一些总结和概括，如有错误或者需要补充的地方欢迎各位大佬评论或者私信我交流！！！