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6.3 Softmax-with-Loss 层
我们最后介绍输出层的softmax函数，之前我们知道softmax函数会将输入值正规化之后再输出。在手写数字识别的例子中，softmax层的输出如下：
softmax函数会将输入值正规化，即输出值的和为1之后再进行输出。手写数字的分类有10个，所以softmax层输入也有十个，输出也是10个，代表各类别的概率。
神经网络中进行的处理有推理（inference）和学习两个阶段。神经网络的推理通常不使用Softmax层。比如，用上面的网络进行推理时， 会将最后一个Affine层的输出作为识别结果。神经网络中未被正规化的输出结果（上图中Softmax层前面的Affine层的输出）有时被称为“得分”。也就是说，当神经网络的推理只需要给出一个答案的情况下，因为此时只对得分最大值感兴趣，所以不需要Softmax层。 不过，神经网络的学习阶段则需要Softmax层。
我们接下来来实现softmax层，由于这里也包含作为损失函数的交叉熵误差(cross entropy error),所以也被称为soft-max-Loss层，其计算图如下：
由于这个计算图较为复杂，我们只给出结果，不进行推理计算，下面是简化后的计算图：
我们假设这里进行三类的分类，接受前面层的三个输入a1 a2和a3，softmax层对输入值进行正规化后输出y1 y2和y3，传递给交叉熵误差层，结合教师标签t，输出损失L。
特别注意在这个计算图中的反向传播中，输入数据的导数为y-t，y是softmax层输出，t是监督数据，所以y-t是输出和教师标签的差分。神经网络的反向传播会把这个差分表示的误差传递给前面的层，这是神经网络学习中的重要性质。
神经网络进行学习的目的就是通过调整权重参数，使神经网络输出softmax层输出y和教师标签t尽可能接近，即输入a的导数值接近0。因此我们需要将y-t这样的误差高效地传递给前面的层。
这里考虑一个实例，教师标签是(0，1，0)，softmax层输出为（0.3，0.2，0.5）的情况，softmax层的反向传播的误差是(0.3,-0.8,0.5)这样的，因为这个大的误差会向前面的层传播，所以softmax前面的层会从这个大的误差中学习到“大”的内容。
PS：使用交叉熵误差作为softmax函数的损失函数后，反向传播得到 （y1 − t1,y2 − t2,y3 − t3）这样 “漂亮”的结果。实际上，这样“漂亮” 的结果并不是偶然的，而是为了得到这样的结果，特意设计了交叉 熵误差函数。回归问题中输出层使用“恒等函数”，损失函数使用 “平方和误差”，也是出于同样的理由（3.5节）。也就是说，使用“平 方和误差”作为“恒等函数”的损失函数，反向传播才能得到（y1− t1, y2 − t2, y3 − t3）这样“漂亮”的结果。
再举一个例子，比如思考教师标签是(0,1,0)，Softmax层的输出是(0.01, 0.99, 0)的情形（这个神经网络识别得相当准确）。此时Softmax层的反向传播 传递的是(0.01,−0.01,0)这样一个小的误差。这个小的误差也会向前面的层 传播，因为误差很小，所以Softmax层前面的层学到的内容也很“小”。
接下来进行softmax-with-Loss层的实现：
Class SoftmaxwithLoss:def __init__(self):self.loss = None #损失self.y = None #softmax输出self.t = None #监督数据def forward(self,x,t):self.t = tself.y = yself.loss = cross_entropy_error(self.y,self.t)return self.lossdef backward(self,dout=1)batch_size = self.t.Shape[0]dx = (self.y - self.t) / batch_sizereturn dx这里直接使用了之前已经实现过的softmax和cross_entropy_error函数。所以实现起来十分简单，在反向传播中，要将传播的值除以批大小后再传递给前面的层才是单个数据的误差。