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1. 引言
归结原理（Resolution Principle） 是自动定理证明和逻辑推理的核心技术，由约翰·艾伦·罗宾逊（John Alan Robinson）于1965年提出。它是一阶谓词逻辑的机械化推理方法，广泛应用于人工智能（如Prolog）、知识表示和自动推理领域。
期末考点重要性：
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命题逻辑和一阶逻辑的归结方法
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合取范式（CNF）转换
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归结证明的步骤与算法
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实际应用（如Prolog、自动定理证明）
2. 归结原理的基本概念
（1）核心思想
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目标：通过逻辑子句的归结（消解），从公理中推导结论或验证命题。
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关键操作：找到互补文字（如 P 和 ¬P），生成新子句，直到导出空子句（矛盾）。
（2）基本术语
| 术语 | 说明 |
|---|---|
| 子句（Clause） | 文字的析取（如 P∨Q∨¬R） |
| 合取范式（CNF） | 子句的合取（如 (P∨Q)∧(¬Q∨R)） |
| 互补文字 | 一对正负文字（如 P和 ¬P） |
| 空子句（□） | 代表矛盾，证明原命题成立 |
3. 归结原理的步骤
（1）命题逻辑的归结
示例：
给定子句：
C1=P∨Q,C2=¬P∨R
归结过程：
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找到互补文字 P 和 ¬P。
-
消去互补对，得到新子句：Q∨R。
逻辑解释：如果 P为真则 R必真，如果 P为假则 Q必真，因此 Q∨RQ∨R 恒成立。
（2）一阶逻辑的归结
额外步骤：
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斯柯伦化（Skolemization）：消除存在量词（如 ∃x 替换为常量或函数）。
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合一（Unification）：变量替换使文字匹配（如 P(x) 和 ¬P(a) 合一为 x=a）。
示例：
子句1：∀x(Man(x)→Mortal(x)) → CNF：¬Man(x)∨Mortal(x)
子句2：Man(Socrates)
目标：证明 Mortal(Socrates)
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假设其否定：¬Mortal(Socrates)
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归结：
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¬Man(Socrates)∨Mortal(Socrates)与 Man(Socrates) → Mortal(Socrates)
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Mortal(Socrates) 与 ¬Mortal(Socrates) → 空子句（矛盾）。
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-
结论：原命题成立。
4. 期末考点与典型题型
考点1：合取范式（CNF）转换
题目：将公式 (P→Q)∧(Q→R) 转化为CNF。
解答步骤：
-
消去蕴含：P→Q=¬P∨Q，Q→R=¬Q∨R
-
转换为CNF：(¬P∨Q)∧(¬Q∨R)
考点2：命题逻辑归结
题目：用归结法证明 (P∨Q)∧(¬P∨R) = (Q∨R)。
解答：
-
列出子句：
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C1=P∨Q
-
C2=¬P∨R
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目标否定：¬(Q∨R)≡¬Q∧¬R（拆分为 C3=¬Q、C4=¬R）
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-
归结：
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C1 和 C3 → P
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C2 和 P → R
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R 和 C4 → 空子句（矛盾）。
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-
原命题得证。
考点3：一阶逻辑归结
题目：用归结法证明“所有人都是会死的，苏格拉底是人，因此苏格拉底会死”。
解答：
-
公理：
-
∀x(Man(x)→Mortal(x))→ CNF：¬Man(x)∨Mortal(x)
-
Man(Socrates)
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-
目标否定：¬Mortal(Socrates)
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归结：
-
¬Man(Socrates)∨Mortal(Socrates)与 Man(Socrates)→Mortal(Socrates)
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Mortal(Socrates) 与 ¬Mortal(Socrates)→ 空子句。
-
-
结论成立。
5. 归结原理的优化与局限性
优化方法
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单元归结（Unit Resolution）：优先处理单文字子句（如Prolog）。
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线性归结（Linear Resolution）：限制归结顺序以减少冗余。
局限性
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组合爆炸：子句数量多时效率低。
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不完备性：无法保证所有真命题可证（需结合其他策略）。
6. 实际应用
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Prolog语言：基于归结的逻辑编程。
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自动定理证明：如数学命题的机器推导。
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知识库验证：检查逻辑一致性。
7. 总结与答题技巧
答题模板：
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CNF转换：消去蕴含、德摩根律、分配律。
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归结证明：
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列出所有子句。
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写出目标否定。
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逐步归结至空子句。
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一阶逻辑：先斯柯伦化，再合一变量。
高频考点：
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CNF转换（必考！）
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命题逻辑归结（基础题）
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一阶逻辑归结（综合题）
掌握这些方法，期末轻松拿高分！ 🚀
（注：实际考试中可能要求手写归结步骤，务必练习！）