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Leetcode 494. 目标和 

回溯算法

回溯算法实现，但会出现 超时 的情况。时间复杂度是O(2^n), n表示数组的长度，每个数字有两个状态，因此是2^n。

思路就是构建一个决策树，如下图所示：

1. 决策树构建：每个数字有两种选择（加或减），形成一个二叉树
2. 递归探索：深度优先遍历所有可能的组合
3. 终止条件：当处理完所有数字时，检查当前和是否等于target
4. 剪枝优化：可以提前终止不可能达到target的分支

Code

class Solution(object):def findTargetSumWays(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""# @lc code=endself.count = 0self.backtracking(nums, target, 0, 0)return self.countdef backtracking(self, nums, target, index, cur_sum):if index == len(nums):if cur_sum == target:       ### 串联起所有整数，所以是放到这里面来进行退出self.count += 1return self.backtracking(nums, target, index+1, cur_sum + nums[index])self.backtracking(nums, target, index+1, cur_sum - nums[index])

动规算法

思路：

• 这道题是关键是要将带“+”和“-”的数字进行划分，根据这二者的关系得到一个方程组，根据方程组来得到一个关系
• 假设left为带“+”的数字总和，right为带"-"的数字总和。（这里的数字都是大于等于0，正负性是由前面的符号决定的,这里是将去除符号后得到的数字）

• 另外，为什么left + right == sums，是因为题目已经限制了 nums[i] >= 0，因此原数组的每一个数字都是正的
• 那么有left + right == sums. left - right == target，结合二者得到 left = ( target + sums ) / 2
• 因此就将关系转换到只要求背包容量为 left == ( target + sums ) /2 下有多少种这样的组合。
• 另外，若 nums = [1,1,1,1,1,1,1], target = 4, sums = 7 , 此时 ( target + sums ) /2 = 5.5, 那此时就说明了不存在这样的组合来满足题意，因为都是nums里都是整数。
• 那关系就很清楚了，我们现在只要对数组进行求和，来判断和为 ( target + sums ) /2 下的组合有多少种就行。
• 求和为某个target下的组合，回溯可以解决。
• 这道题的dp数组的实现方式就跟“爬楼梯”差不多了，但爬楼梯限定在了距离为1和2，这里的话是根据nums[i]的值

Code

class Solution(object):def findTargetSumWays(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""### 1. dp数组定义，一维数组，dp[j]表示凑成 left==j 下的组合次数nums_sum = sum(nums)left = (nums_sum + target) // 2         ### 向下取整，转换为int类型if (nums_sum + target) % 2 == 1:return 0if abs(target) > nums_sum:return 0## 1. dp数组定义# dp = [0] * ( nums_sum + 1 )       ### 数组存在多余的部分，直接到left就行了dp = [0] * ( left + 1 )### 2. dp初始化。dp[0] = 1    ### 3. 递推公式.  ### dp[j] += dp[j-nums[i]]### 4. 遍历顺序### 外层从小到大，内层从大到小（表示一个物品只取一次）for i in range(len(nums)):for j in range(len(dp)-1, -1, -1):if j >= nums[i]:        ### 涉及到数组下标的有效值，因此要做判断。当然这个判断也可以嵌入到循环中，这样的话可以节省循环的次数，不过为了逻辑清晰性，这样也行dp[j] += dp[j-nums[i]]      ### 爬楼梯的话 nums = [1,2]### 5. 打印dp数组return dp[left]