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1. ‌物理建模‌：

   • 使用摆线参数方程定义轨迹：x = r(θ - sinθ), y = r(1 - cosθ)
   • 通过微分方程求解角度θ随时间变化关系，考虑能量守恒定律
   • 计算实时速度分量和切向加速度

2. ‌可视化特性‌：

   • 灰色虚线显示完整摆线轨迹
   • 红色小球实时显示当前位置
   • 绿色箭头指示瞬时速度矢量
   • 粉色点迹显示运动轨迹历史
   • 实时数据显示时间、速度和加速度

3. ‌交互特性‌：

   • 自动调整坐标系比例保持物理尺度一致
   • 每0.09秒记录一次轨迹点
   • 速度矢量动态缩放确保可视化效果
4. 

%% 单侧摆线下落物理模拟
function single_side_cycloid()clf; close all; clear;%% 物理参数调整r = 1.0;                % 摆线半径 (m)g = 9.81;               % 重力加速度 (m/s²)theta_max = pi;         % 最大角度限制为π（半摆线）t_total = 2.5;          % 总模拟时间 (s)dt = 0.03;              % 时间步长 (s)%% 单侧摆线方程（右半侧）cycloid_x = @(th) r*(th - sin(th));  % x坐标方程保持不变cycloid_y = @(th) -r*(1 - cos(th));  % 下凹摆线y坐标（取反）%% 约束运动微分方程ode_fun = @(t,y) [y(2); (g/r)*sin(y(1))/(1 - cos(y(1))) * (y(1)<theta_max*0.98)]; % 角度接近π时抑制加速度opts = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9, 'Events', @(t,y)angleEvents(y,theta_max));[t_ode, theta] = ode45(ode_fun, [0 t_total], [0.1; 0], opts); % 初始角度0.1rad启动%% 时间插值处理t_sim = 0:dt:min(t_ode(end), t_total);theta_sim = interp1(t_ode, theta(:,1), t_sim, 'pchip');%% 图形初始化figure('Color','w','Position',[200 200 800 500])ax = axes('XLim',[0 r*pi+0.5], 'YLim',[-2.2 0.5],... % X轴范围限定在右半侧'DataAspectRatio',[1 1 1],'Box','on');title('单侧下凹摆线物理模拟')hold on;% 绘制右半摆线（θ从0到π）th_plot = linspace(0, theta_max, 150);plot(cycloid_x(th_plot), cycloid_y(th_plot),...'LineWidth',2,'Color',[0.4 0.4 0.8])% 初始化小球图形（右侧起点）ball = scatter(cycloid_x(0.1), cycloid_y(0.1), 120, 'filled',...'MarkerFaceColor',[0.9 0.2 0.2],...'MarkerEdgeColor','k');% 速度矢量初始化v_quiver = quiver(cycloid_x(0.1), cycloid_y(0.1), 0, 0,...'LineWidth',1.8,'Color',[0 0.6 0],...'MaxHeadSize',0.8,'AutoScale','off');% 创建终点标记end_marker = plot(nan, nan, 'rx', 'MarkerSize',15,'LineWidth',2);%% 动态模拟主循环for k = 1:length(t_sim)th = theta_sim(k);% 计算当前位置x = cycloid_x(th);y = cycloid_y(th);% 计算瞬时速度dx_dth = r*(1 - cos(th));dy_dth = r*sin(th);dth_dt = interp1(t_ode, theta(:,2), t_sim(k));vx = dx_dth * dth_dt;vy = dy_dth * dth_dt;% 更新图形对象set(ball, 'XData',x, 'YData',y)set(v_quiver, 'XData',x, 'YData',y,...'UData',vx*0.08, 'VData',vy*0.08)% 到达终点时标记if th >= theta_max*0.98set(end_marker, 'XData',x, 'YData',y)break; % 提前终止循环end% 绘制轨迹（每4帧记录一次）if mod(k,4)==0plot(x, y, '.','Color',[1 0.4 0.4],'MarkerSize',12)enddrawnow limitratepause(0.8);end
end%% 事件函数（角度达到π时停止）
function [value,isterminal,direction] = angleEvents(y,theta_max)value = y(1) - theta_max*0.99; % 触发阈值设为99%最大角度isterminal = 1; % 终止积分direction = 1;  % 单方向触发
end