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斯皮尔曼等级相关教程

一、定义与原理

斯皮尔曼等级相关系数（Spearman’s rank - correlation coefficient），常用$\rho$表示，是一种非参数统计量，用于衡量两个变量的等级之间的关联程度。它基于变量的秩次（排序后的位置）进行计算，不依赖于数据的分布形态，能有效处理非线性关系和非数值型的有序数据。取值范围在$-1$到$1$之间，$\rho =1$表示完全正相关，即一个变量的等级增加时，另一个变量的等级也严格增加；$\rho =-1$表示完全负相关；$\rho =0$表示不存在等级相关关系。

二、适用场景

• 数据为定序数据：如比赛名次、成绩等级、满意度排序等，例如分析不同餐厅在美食评选中的排名和顾客推荐率排名的关系。
• 数据分布未知或不满足正态分布：当无法确定数据是否服从正态分布，或者明确知道数据不服从正态分布时，斯皮尔曼等级相关系数是很好的选择。
• 变量间为非线性关系：只要两个变量之间存在单调变化趋势（不一定是线性），都可以用它来衡量相关性，比如植物生长时间和植株高度的关系（可能是先慢后快再趋于平稳的非线性增长） 。

三、计算步骤

斯皮尔曼等级相关系数计算

1. 数据排序：分别对两个变量的数据进行排序，确定每个数据在各自变量中的等级。若存在相同数值，通常取平均等级。例如，有三个数据$3$，$3$，$5$，它们的等级分别为$1.5$（$(1+2)÷2$），$1.5$，$3$。
2. 计算等级差：对于每一对数据，计算它们的等级差$d_i$。
3. 计算等级差的平方：得到$d_i^2$，并对所有的$d_i^2$求和，得到$\sum d_i^2$。
4. 计算相关系数：根据公式$\rho =1-\frac{6\sum d_i^2}{n^3-n}$（$n$为样本数量）计算斯皮尔曼等级相关系数。

t检验步骤

1. 建立假设
   • 原假设$H_0$：总体的斯皮尔曼等级相关系数$\rho =0$，即总体中两个变量之间不存在等级相关关系。
   • 备择假设$H_1$：总体的斯皮尔曼等级相关系数$\rho \ne 0$，即总体中两个变量之间存在等级相关关系。
2. 计算t统计量：在斯皮尔曼等级相关的t检验中，可使用公式$t=\frac{r_R\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_R^2}}$（这里$r_R$表示计算得到的斯皮尔曼等级相关系数，$n$为样本数量）。此公式与积差相关系数（如Pearson相关系数）检验中t统计量的计算形式相同，这样做是因为在一定条件下，基于等级数据计算出的相关系数的抽样分布近似于t分布。
3. 确定临界值：根据给定的显著性水平$\alpha$（常用的有$0.05$、$0.01$等）和自由度$df=n-2$，查阅$t$分布表得到临界值$t_{\alpha /2}(n-2)$。
4. 做出决策
   • 如果$|t|>t_{\alpha /2}(n-2)$，则拒绝原假设$H_0$，认为总体中两个变量之间存在等级相关关系。
   • 如果$|t|\le t_{\alpha /2}(n-2)$，则不能拒绝原假设$H_0$，即没有足够证据表明总体中两个变量之间存在等级相关关系。

四、实例演示

斯皮尔曼等级相关系数计算实例

研究$6$名学生的语文成绩排名和英语成绩排名的相关性，数据如下：

学生编号	语文成绩排名$X$	英语成绩排名$Y$	$d_i$（等级差）	$d_i^2$（等级差的平方）
1	2	3	-1	1
2	4	2	2	4
3	1	1	0	0
4	3	4	-1	1
5	5	5	0	0
6	6	6	0	0

计算$\sum d_i^2=1+4+0+1+0+0=6$，$n=6$。
代入公式可得：
$$\begin{array}{rl}\rho & =1-\frac{6\times 6}{6^3-6}\\ & =1-\frac{36}{216-6}\\ & =1-\frac{36}{210}\\ & \approx 0.83\end{array}$$
结果表明，这$6$名学生的语文和英语成绩排名有较强的正相关关系。

t检验实例

针对上述例子，假设显著性水平$\alpha =0.05$。

1. 已知$r_R\approx 0.83$，$n=6$，计算$t$统计量：
   $$\begin{array}{rl}t& =\frac{0.83\sqrt{6-2}}{\sqrt{1-0.83^2}}\\ & =\frac{0.83\times 2}{\sqrt{1-0.6889}}\\ & =\frac{1.66}{\sqrt{0.3111}}\\ & \approx 2.97\end{array}$$
2. 自由度$df=n-2=6-2=4$，查$t$分布表得$t_{0.025}(4)=2.776$。
3. 因为$|2.97|>2.776$，所以拒绝原假设$H_0$，可以认为在总体中，学生的语文成绩排名和英语成绩排名之间存在等级相关关系。

五、注意事项

• 只反映等级相关：它衡量的是变量等级之间的关联，并非原始数据值之间的精确关系。
• 对单调关系敏感：只能检测单调的相关关系，若变量间关系复杂非单调，可能无法准确反映相关性。
• 样本数量影响：样本数量过少可能导致结果不稳定，一般建议样本量$n\ge 10$ 。
• t检验前提：虽然斯皮尔曼等级相关的t检验形式与积差相关类似，但在使用时要注意其基于等级数据的特点，以及样本数据对近似t分布条件的满足程度。当样本量较小时，t检验结果的准确性可能会受到一定影响。