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LeetCode 第279题：完全平方数
📖 文章摘要
本文详细解析LeetCode第279题"完全平方数"，这是一道经典的动态规划问题。文章提供了动态规划和数学方法两种解题思路，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的状态转移表格和性能对比。适合学习动态规划和数学优化的读者。
核心知识点： 动态规划、完全平方数、数学定理
难度等级： 中等
推荐人群： 具备基础算法知识，想要提升动态规划技能的开发者
题目描述
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示
1 <= n <= 10^4
解题思路
本题可以使用动态规划来解决，也可以使用数学方法。我们主要介绍这两种方法：
-
动态规划方法：
- 定义dp[i]表示数字i最少需要多少个完全平方数
- 对于每个数i，枚举所有小于等于i的完全平方数j*j
- 状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[i - j*j] + 1)
-
数学方法（四平方和定理）：
- 任何正整数都可以表示为至多4个平方数之和
- 当且仅当n≠4^k(8m+7)时，n可以表示为至多3个平方数之和
图解思路
动态规划状态转移表
| 数字n | 可用平方数 | dp[n] | 组成方式 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 基础情况 |
| 2 | 1 | 2 | 1+1 | 只能用1 |
| 3 | 1 | 3 | 1+1+1 | 只能用1 |
| 4 | 1,4 | 1 | 4 | 可以直接用4 |
| 5 | 1,4 | 2 | 4+1 | 使用4和1 |
| 12 | 1,4,9 | 3 | 4+4+4 | 使用三个4 |
| 13 | 1,4,9 | 2 | 4+9 | 使用4和9 |
数学方法分析表
| 情况 | 条件 | 结果 | 示例 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 完全平方数 | n = k^2 | 1 | 16=4^2 | 直接是平方数 |
| 两个平方数和 | n = a^2 + b^2 | 2 | 13=4+9 | 可以分解为两个平方数之和 |
| 三个平方数和 | n ≠ 4^k(8m+7) | 3 | 12=4+4+4 | 可以分解为三个平方数之和 |
| 四个平方数和 | 其他情况 | 4 | 7=4+1+1+1 | 需要四个平方数 |
代码实现
C# 实现
public class Solution {public int NumSquares(int n) {// 创建dp数组，初始值设为最大可能值int[] dp = new int[n + 1];Array.Fill(dp, int.MaxValue);dp[0] = 0;// 计算所有小于等于n的完全平方数int maxSquareRoot = (int)Math.Sqrt(n);int[] squares = new int[maxSquareRoot];for (int i = 1; i <= maxSquareRoot; i++) {squares[i - 1] = i * i;}// 动态规划过程for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < maxSquareRoot && squares[j] <= i; j++) {dp[i] = Math.Min(dp[i], dp[i - squares[j]] + 1);}}return dp[n];}
}
Python 实现
class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:# 创建dp数组dp = [float('inf')] * (n + 1)dp[0] = 0# 计算所有小于等于n的完全平方数squares = [i * i for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1)]# 动态规划过程for i in range(1, n + 1):for square in squares:if square > i:breakdp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1)return dp[n]
C++ 实现
class Solution {
public:int numSquares(int n) {// 创建dp数组vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;// 计算所有小于等于n的完全平方数int maxSquareRoot = (int)sqrt(n);vector<int> squares(maxSquareRoot);for (int i = 1; i <= maxSquareRoot; i++) {squares[i - 1] = i * i;}// 动态规划过程for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < maxSquareRoot && squares[j] <= i; j++) {dp[i] = min(dp[i], dp[i - squares[j]] + 1);}}return dp[n];}
};
执行结果
C# 实现
- 执行用时：84 ms
- 内存消耗：27.8 MB
Python 实现
- 执行用时：148 ms
- 内存消耗：15.2 MB
C++ 实现
- 执行用时：44 ms
- 内存消耗：9.1 MB
性能对比
| 语言 | 执行用时 | 内存消耗 | 特点 |
|---|---|---|---|
| C# | 84 ms | 27.8 MB | 代码结构清晰，性能适中 |
| Python | 148 ms | 15.2 MB | 代码最简洁，但运行较慢 |
| C++ | 44 ms | 9.1 MB | 性能最优，内存占用最小 |
代码亮点
- 🎯 使用动态规划优化时间复杂度
- 💡 预计算完全平方数数组，避免重复计算
- 🔍 使用Math.Min/min优化比较操作
- 🎨 代码结构清晰，变量命名直观
常见错误分析
- 🚫 未初始化dp数组为最大值
- 🚫 完全平方数计算范围错误
- 🚫 状态转移方程写错
- 🚫 边界条件处理不当
解法对比
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| 动态规划 | O(n * sqrt(n)) | O(n) | 通用性强 | 空间消耗大 |
| 数学方法 | O(sqrt(n)) | O(1) | 速度快 | 需要数学知识 |
| BFS | O(n * sqrt(n)) | O(n) | 思路直观 | 空间消耗大 |
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