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积木
原题目链接
题目描述
小明用积木搭了一个城堡。为了方便，小明使用的是大小相同的正方体积木，并将其搭建在一个 n 行 m 列的方格图上。每个积木占据方格图中的一个小格子。
小明的城堡是立体的，可以将积木垒在其他积木上。当某个格子上的积木较多时，这里就形成了一个高塔；当某个格子没有积木时，就是平地。
小明的城堡可以通过一个二维数组来表示，数组中的每个数表示该位置积木的层数。例如：
9 3 3 1
3 3 3 0
0 0 0 0
这个城堡的南面和东面是空地，西北面是大房子，西北角是高塔，东北角是车库。
现在，格格巫要来破坏城堡，他施放了魔法水淹没整个城堡。
- 如果水的高度为 1，则会淹没靠近地面的积木。在上例中，共有 7 块积木被淹。
- 如果水的高度为 2，则更多积木会被淹。在上例中，共有 13 块积木被淹。
现在，给定城堡的结构，请你计算当水的高度从 1 到 H 时，每个高度下被水淹没的积木块数。
输入描述
- 第一行包含两个整数
n和m，表示城堡的行数和列数。 - 接下来
n行，每行包含m个整数，表示该格子上的积木层数（非负整数）。 - 最后一行一个整数
H，表示水位的最高高度。
取值范围：
- 1 ≤ n, m ≤ 1000
- 1 ≤ H ≤ 10⁵
- 每个格子中的积木层数 ≤ 10⁹
输出描述
输出 H 行，每行一个整数。第 i 行表示当水位为 i 时，被水淹没的积木块数。
输入示例
3 4
9 3 3 1
3 3 3 0
0 0 0 0
10
输出示例
7
13
19
20
21
22
23
24
25
25
c++代码
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(nullptr), std::cout.tie(nullptr);ll n, m, x, H;vector<ll> ans(100006, 0);cin >> n >> m;for (ll i = 0; i < n * m; i++) {cin >> x;if (x > 0) ans[1]++, ans[x + 1] -= 1;}cin >> H;for (ll i = 1; i <= H; i++) ans[i] += ans[i - 1];for (ll i = 1; i <= H; i++) ans[i] += ans[i - 1], cout << ans[i] << endl;return 0;
}//by wqs
题目解析
定义ans[i]表示水位是i的时候，一共淹没多少格子。
假设某个坐标有9个格子，那么该坐标，1水位淹没一个，2水位淹没2个…9水位淹没9个，10水位还是淹没九个，11水位还是淹没9个。
也就是对于[1,9]操作ans[i] += i,对于大于9的部分，操作ans[i] += 9;
对于所有坐标都做这个操作就行。
接下来我们研究如何快速做这个操作。
算法思路
先看这么一个题，对于区间[L,R]的每个下标i，操作ans[i] += i;
对于下标大于R的操作ans[i] += R
例如0 0 0 0 0 0，
对[1,3]操作一次1 2 3 3 3 3，
再对区间[1,5]操作一次2 4 6 7 8 8.
有什么好的办法得出n次操作后的数组，用前缀和+差分
0 0 0 0 0 0
对[1,3]操作一次，[1,3]的值加一
1 1 1 0 0 0
[1,5]操作一次，[1,5]的值加一
2 2 2 1 1 0
前缀求和
2 4 6 7 8 8，刚好是原数组如何快速区间加一，这就是差分
初始化
0 0 0 0 0 0
对[1,3]操作一次，[1,3]的值加一，改变端点
1 0 0 -1 0 0
[1,5]操作一次，[1,5]的值加一，改变端点
2 0 0 -1 0 -1
求前缀和得出
2 2 2 1 1 0
再求前缀和得出
2 4 6 7 8 8，刚好是原数组
上面的执行n个操作只需O(n)的时间，因为一个操作是O(1)的复杂度.