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优先级队列 (堆)

用到优先级队列 (priority queue) 或堆 (heap) 的题一般需要维护一个动态更新的池，元素会被频繁加入到池中或从池中被取走，每次取走的元素为池中优先级最高的元素 (可以简单理解为最大或者最小)。
用堆来实现优先级队列是效率非常高的方法，加入或取出都只需要 O(log N) 的复杂度。
Python的heapq模块实现了一个最小堆（小顶堆），底层基于**二叉堆（Binary Heap）**数据结构。以下是其核心实现原理和常用操作的时间复杂度分析：

底层实现原理

1. 二叉堆结构

   • heapq使用完全二叉树实现堆，即除了最后一层外，每一层都被完全填充，且最后一层的节点从左到右排列。
   • 堆的特性：每个节点的值都小于或等于其子节点的值（最小堆）。

2. 数组存储

   • 堆以一维数组形式存储，通过索引计算父子关系：
     • 节点i的左子节点：2i + 1
     • 节点i的右子节点：2i + 2
     • 节点i的父节点：(i - 1) // 2

3. 核心操作

   • 上浮（Heapify Up）：插入元素时，新元素从数组末尾开始向上调整，直到满足堆性质。
   • 下沉（Heapify Down）：删除堆顶元素后，将最后一个元素移到堆顶，然后向下调整，直到满足堆性质。

常用操作的时间复杂度

操作	时间复杂度	说明
heapq.heappush(h, x)	O(log n)	插入元素到堆中，需执行上浮操作调整堆结构。
heapq.heappop(h)	O(log n)	删除并返回堆顶元素，需执行下沉操作调整堆结构。
heapq.heapify(x)	O(n)	将列表转换为堆，通过从最后一个非叶子节点开始下沉调整，效率高于逐个插入。
h[0]	O(1)	访问堆顶元素（最小值）。

关键代码实现（简化版）

以下是heapq核心操作的简化实现，帮助理解原理：

def heappush(heap, item):heap.append(item)_siftup(heap, len(heap) - 1)  # 上浮操作def heappop(heap):lastelt = heap.pop()if heap:returnitem = heap[0]heap[0] = lastelt_siftdown(heap, 0)  # 下沉操作return returnitemreturn lasteltdef _siftup(heap, pos):# 上浮：从pos位置开始向上调整newitem = heap[pos]while pos > 0:parentpos = (pos - 1) // 2parent = heap[parentpos]if newitem < parent:heap[pos] = parentpos = parentposcontinuebreakheap[pos] = newitemdef _siftdown(heap, pos):# 下沉：从pos位置开始向下调整startpos = posnewitem = heap[pos]childpos = 2 * pos + 1while childpos < len(heap):rightpos = childpos + 1if rightpos < len(heap) and not heap[childpos] < heap[rightpos]:childpos = rightposheap[pos] = heap[childpos]pos = childposchildpos = 2 * pos + 1heap[pos] = newitem_siftup(heap, pos)  # 最后可能需要上浮微调

应用场景

• 优先队列：任务调度、Dijkstra算法等。
• Top-K问题：求最大/最小的K个元素。
• 合并有序序列：多路归并排序。

总结

heapq通过数组实现二叉堆，保证插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，适合处理动态数据集合。其设计巧妙，无需显式维护树结构，通过数组索引即可高效操作，是Python中处理堆相关问题的标准库。

Kth largest/smallest

找数据中第 K 个最大/最小数据是堆的一个典型应用。以找最大为例，遍历数据时，使用一个最小堆来维护当前最大的 K 个数据，堆顶数据为这 K 个数据中最小，即是你想要的第 k 个最大数据。每检查一个新数据，判断是否大于堆顶，若大于，说明堆顶数据小于了 K 个值，不是我们想找的第 K 个最大，则将新数据 push 进堆并 pop 掉堆顶，若小于则不操作，这样当遍历完全部数据后堆顶即为想要的结果。找最小时换成最大堆即可。

kth-largest-element-in-a-stream

设计一个找到数据流中第K大元素的类。

import heapqclass Item:def __init__(self, value):self.value = value# 定义小于比较，使堆变成最大堆def __lt__(self, other):return self.value > other.value  # 反向比较max_heap = []
heapq.heappush(max_heap, Item(3))
heapq.heappush(max_heap, Item(1))
heapq.heappush(max_heap, Item(4))# 弹出时取 value
print(heapq.heappop(max_heap).value)  # 输出: 4
print(heapq.heappop(max_heap).value)  # 输出: 3
import heapq# 创