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中心极限定理（CLT）习题集 · 题目篇

共 18 题，覆盖经典 CLT、Lyapunov/Lindeberg 条件、Berry–Esseen 评估、
以及工程/数据科学应用与编程仿真。推荐先独立完成，再看《答案与解析篇》。
之前已经出过相关的知识点文章，也有可视化演示，可以看看。

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1. 概念与判断题（4 题）

1.1 经典叙述

写出 i.i.d. 情形下中心极限定理的标准表述，说明对随机变量的要求、
标准化方式与极限分布。

1.2 LLN vs CLT

分别给出 LLN 与 CLT 的结论形式，并指出两者在
a) 极限类型、b) 收敛速度、c) 适用场景 上的差异。

1.3 方差无限

对下列分布判断能否直接应用经典 CLT，并说明理由：
a) 指数分布 Exp(1)；
b) Cauchy 分布 C(0,1)；
c) Pareto(α=1.5)；
d) Bernoulli§。

1.4 术语填空

a) Lindeberg 条件包含对每一项重尾概率的限制，其核心不等式形如 ______；
b) Berry–Esseen 定理给出了 CLT 的 ______ 误差上界，典型阶数 ______。

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2. 理论推导与证明（6 题）

2.1 Bernoulli CLT (MGF 法)

设 (X_i\sim\text{Bern}§) 独立。利用矩生成函数证明
[
\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1).
]

2.2 Poisson 样本均值

令 (Y_i\sim\text{Poisson}(\lambda)) i.i.d.，求
[
\sqrt{n}\Bigl(\overline{Y}_n-\lambda\Bigr)
]
的极限分布。

2.3 Lyapunov CLT

写出 Lyapunov 条件并证明：若
[
\frac{1}{s_n^{{2+\delta}}\sum_{k=1}}{n}E!\bigl[,|X_k-\mu_k|^{2+\delta}\bigr]\xrightarrow{n\to\infty}0,
]
则
[
\frac{\sum_{k=1}^{n}(X_k-\mu_k)}{s_n}\xrightarrow{d}N(0,1),
]
其中 (s_n^2=\sum\operatorname{Var}(X_k))。

2.4 Berry–Esseen

给出 Berry–Esseen 定理的数学表述，并说明常数 (C) 与第三阶矩的关系。

2.5 非独立情形

解释何谓 m-依赖 序列，写出相应的中心极限定理（简述即可）。

2.6 Delta 方法

设 (Z_n) 满足 CLT：(\sqrt{n}(Z_n-\theta)\overset{d}\to N(0,\sigma^2))。
令 (g(\cdot)) 可微且 (g’(\theta)\neq0)。
推导 (\sqrt{n}\bigl(g(Z_n)-g(\theta)\bigr)) 的极限分布。

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3. 计算与应用（5 题）

3.1 抛硬币置信区间

抛硬币 400 次观察正面 220 次。用 CLT 给出正面概率 (p) 的 95% 置信区间。

3.2 生产质量抽检

零件直径 (\sim N(10, 0.05^2))（毫米）。每箱 50 个。
用 CLT 估算：一箱平均直径偏离 10 mm 超过 0.02 mm 的概率。

3.3 股价日收益

日收益率服从 (t)(df = 5)，样本量 100。说明是否可用 CLT 近似
(\overline{R}_{100}) 的分布；若可，近似方差是多少？

3.4 蒙特卡罗积分

利用 CLT 解释为何 Monte-Carlo 积分误差阶数为 (O_p(n^{-1/2}))，
并说明减少方差的两种方法。

3.5 村庄电力负荷

每日峰值负荷 (X\sim) 不同分布（均值 μ=300 kW，方差 σ²=900）。
若未来 365 天总负荷和 (T=\sum X_i)，用 CLT 估算
(P\bigl(T>110{,}000\text{ kW}\bigr))。

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4. 编程仿真（3 题）

4.1 指数→正态

用 Python / R 生成 10,000 组样本均值 (\overline{X}_n)(n=30)，
(X\sim\text{Exp}(1))。绘制直方图并叠加 (N(1,1/30)) 密度曲线。

4.2 收敛速度比较

对比 (X\sim\text{Exp}(1)) 与 (X\sim\text{Pareto}(\alpha=3))
在 n = 5, 20, 100 时的均值分布，讨论哪个更接近正态以及原因。

4.3 Berry–Esseen 常数实验

编写程序估计 (n=50) 时 (\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|)，验证
与理论上 (C\rho/\sqrt{n}) 的数量级一致，其中 (\rho=E|X-\mu|^3/\sigma3)。

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完成后请到《答案与解析篇》核对！