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题目一：目标和
问题描述
494. 目标和 - 力扣（LeetCode）
给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
解题步骤
初看这一题，感觉挺麻烦的，难道要挨个尝试过去吗？
那这个代码又该如何设计？？
如果你看过之前的【蓝桥杯速成】| 7.01背包练习生-CSDN博客
就会发现这一题和分割等和子集，最后一块石头的重量是类似的
我们都可以采取大事化小，小事化了的方法解决
不就是加法和减法吗，
由于题目给出每个数字都是正数，target有可能为负数
那我们就把nums里的数分为两部分，一部分做加法addnums，另一部分做减法subnums
那么显然可以得到
addnums+subnums=sum
addnums-subnums=target
运用我们的数学知识来解个方程
addnums=(sum+target)/2
sum和target是给定的，所以说这里可以先做个剪枝
如果不能sum，target不能被2整除，那么肯定找不到答案，
从一堆整数里凑出小数那不是很荒谬嘛！
if((sum+target)%2!=0)
return 0;
那么除此以外target>sum也是不合理的，就全部加满就是sum怎么可能还变多嘞
if(target > sum)
return 0;
那么剩下步骤只需要求 nums中可以有多少种能凑出和为addnums的方案
因为sum固定，求出addnums相当于剩下的都是subnums，这肯定跑不了！
所以现在的问题就是求出有多少种组合
那么组合问题应该用回溯算法对吧？但是嘞回溯是暴力枚举得到结果的，可能会超时
所以这里我们还是使用动规五部曲，选用二维数组来求解
1.确定dp数组以及下标的含义
本题也是只有一个数组，那么重量和价值的数值是一样的
我们最后要得到的是和为addnums的最多de结果数量
那么 i 表示目前选择数字的下标，j 代表 addnums 的值
dp[ i ][ j ]表示使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满 j（包括j）这么大容量的包，有dp[ i ][ j ]种方法
vector<vector<int>> dp(nums.size(),vector<int>(addnums+1,0));
2.确定递推公式
这一题与不同路径那题需要考虑清楚的地方是一样的
我们需要的组合数量，不是组合里的元素数量
那么在dp[i][j]这一格的时候
-
不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。
-
放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。
加不加上第i号数字我们都记成同一个情况
所以递推公式应该为
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
但 j-nums[i]作为数组下标，是有风险的，万一为负数嘞？
所以要加个判断表示装不下i号物品，此时方案数仍旧是dp[i-1][j],保持不变
if(nums[i]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j];
else dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i]];
3.初始化
从递推公式可以看出，我们使用这个动态二维数组时，
是利用左上方和正上方两个格子里的值共同得到的，
所以一开始我们就需要这两个方向的值存在才能继续推到后面的
所以初始化第一行和第一列
dp[0][j]就是第一行元素，意为只放0号，把容量为j的背包填满有几种方法
那么只有nums[i]=j的情况下才有一种方法，其它情况都没有办法放进去（太小或太大）
dp[i][0]就是第一列元素，表示背包容量为0，放物品0~i号，装满有几种方式
那答案肯定为1，就是不放物品（不放也是一种方法）
初始化如下：
dp[0][nums[0]] = 1,其它为0
dp[i][0]=1
但还有个例外，就是物品数值就是0，应该怎么处理，举例看看：
如果有两个物品，物品0为0， 物品1为0，装满背包容量为0的方法有几种？
- 放0件物品
- 放物品0
- 放物品1
- 放物品0 和 物品1
此时是有4种方法。
其实就是算数组里有t个0，然后按照组合数量求，即 2^t 。
那么这一部分的初始化为：
int numzero=0;
for(int i=0;i<nums.size();i++){
if(nums[i]==0) numzero++;
dp[i][0]=(int) pow(2.0,numzero);
}
统计过程同时初始化
4.确定遍历顺序
01背包外层遍历物品，里层遍历背包
for(int i=1;i<nums.size();i++){
for(int j=0;j<=target;j++){
最后组合一下代码，编译运行试试，如果出现问题需要即时打印dp进行检查
详细代码如下
code
class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum=0;for(int i=0;i<nums.size();i++){sum+=nums[i];}if(abs(target)>sum) return 0;if((target+sum)%2==1) return 0;int addnums=(target+sum)/2;vector<vector<int>> dp(nums.size(),vector<int>(addnums+1,0));if(nums[0]<=addnums) dp[0][nums[0]]=1;dp[0][0]=1;int numzero=0;for(int i=0;i<nums.size();i++){if(nums[i]==0) numzero++;dp[i][0]=(int)pow(2.0,numzero);}for(int i=1;i<nums.size();i++){for(int j=0;j<=addnums;j++){if(nums[i]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j];elsedp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i]];}}return dp[nums.size()-1][addnums];}
};